¿Cuál es la dimensión de Krull del anillo de funciones holomorfas sobre una variedad compleja?

Question

Consideremos una variedad holomorfa conectada $X$ y su anillo de funciones holomorfas $\mathcal O(X).$
Mi pregunta general es simplemente: ¿en qué casos la dimensión de Krull $\dim \mathcal O(X)$ ¿se sabe?

Por supuesto, si $X$ es compacto $\mathcal O(X)=\mathbb C$ y esa dimensión es $0$ .
También hay bastantes colectores no compactos con $\mathcal O(Z)=\mathbb C$ :
Por ejemplo, si $X$ está conectado de dimensión $\geq 2$ y $Y\subset X$ es un subconjunto analítico de codimensión al menos $2$ ( o una pequeña bola compacta) , todavía tendrá $\mathcal O(X\setminus Y)=\mathbb C$ .

Pero aparte de estos ejemplos triviales no puedo calcular una sola dimensión de Krull $dim \mathcal O(X)$ para, por ejemplo, las variedades de Stein de dimensión positiva.

Con el fin de plantear algo definitivo, permítanme plantear una pregunta que suena ridícula:

¿Existe una variedad holomorfa conectada $X$ avec $0\lt \dim \mathcal O(X)\lt \infty$ ?

Answer 1

De la prueba del artículo de Sasane se desprende que la dimensión de Krull de una variedad compleja (conectada) $M$ es infinito si $M$ admite una función holomórfica no constante $F: M\to {\mathbb C}$ . Es decir, utilizando el teorema de Sard encontrar una secuencia de puntos $a_k \in F(M)$ que son valores regulares de $F$ y por eso $(a_k)$ converge a un punto en $({\mathbb C}\cup \infty) \setminus F(M)$ . A continuación, elija los puntos regulares $b_k\in V_k:=F^{-1}(a_k)$ de $F$ y definir la multiplicidad de cero para una función holomorfa $h: M\to {\mathbb C}$ con respecto al germen de $V_k$ en $b_k$ . (Es decir, la multiplicidad de $h$ se determina por el mayor $m$ para que $h=(F-a_k)^m g$ sobre el nivel de gérmenes en $b_k$ .) Ahora, pasa la misma prueba que en el trabajo de Sasane, donde se utilizarán funciones $f_n\circ F$ en lugar de las funciones de Sasane $f_n$ . La cuestión es que el argumento de Sasane es esencialmente local en los ceros de las funciones $f_n$ . En realidad, lo que Sasane demuestra es un lema sobre un anillo conmutativo $R$ con una secuencia de valoraciones $m_k$ para la que existe una secuencia de elementos $f_i\in R$ para que $m_k(f_i)$ crece más lentamente que $m_k(f_{i+1})$ por cada $i$ como $k\to \infty$ (más exactamente, en su caso, la tasa de crecimiento de $m_k(f_i)$ es $k^{i+1}$ ). Bajo este supuesto, la dimensión de Krull de $R$ es infinito.

Editar : Finalmente escribí una prueba detallada aquí .

Editar. Escribí un prueba que la dimensión de Krull de $H(M)$ (cuando es positivo) tiene cardinalidad al menos continua. La nueva prueba utiliza números surrealistas en lugar de ultralímites. En aras de la exhaustividad, mantengo también la prueba anterior.

Answer 2

Mi anterior (no/)respuesta está ahora desfasada debido a las revisiones de Misha. He redactado una exposición independiente del "teorema mayor de Kapovich", según el cual si una $\mathbb{C}$ -manifold $M$ tiene una función holomórfica no constante, entonces la dimensión cardinal de Krull de $\operatorname{Hol}(M)$ es al menos $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$ .

También he demostrado -por una reducción directa al caso unidimensional- que si $M$ es un Colector Stein entonces su dimensión cardinal de Krull es al menos la de $\operatorname{Hol}(\mathbb{C})$ y por lo tanto -- por un resultado de Henriksen -- al menos $2^{\aleph_1}$ . No tengo ni idea de si este límite más fuerte debería darse bajo la hipótesis mucho más débil de que existe una función holomorfa no constante.

Añadido : La nota ha sido publicada aquí .

Answer 3

¿También está buscando variedades holomórficas con $\dim \mathcal O=\infty$ ?

En ese caso, en el documento de Sasane Sobre la dimensión de Krull de anillos de funciones de transferencia [Acta Applicandae Mathematicae Volumen 103, Número 2 (2008), 161-168] se demuestra que la dimensión de Krull de $\mathcal{O}(\Omega)$ es infinito para cualquier subconjunto abierto no vacío $\Omega$ de $\mathbb{C}$ (véase el corolario 2.3).

En particular, el anillo de funciones enteras $\mathcal{O}(\mathbb{C})$ tiene una dimensión de Krull infinita.

Answer 4

Creo que la dimensión Krull de $\mathcal O(X)$ es infinito si $\mathcal O(X)\neq\mathbb C$ . Basta con tomar cualquier función holomorfa no constante $f$ en $\mathcal O(X)$ . Esto tiene imagen abierta en $\mathbb C$ que podemos suponer sin límites (utilizando, por ejemplo, el teorema del mapa de Riemann). A continuación, elija una secuencia de puntos $x_i$ en $X$ para que $f(x_i)$ converge al infinito. Existe una cadena infinita de ideales primos, la $n$ que viene dada por las funciones que desaparecen en $x_{2^ni}$ para un número infinito de $i$ .