Medir el cero de la gráfica de una función continua

Question

Si $A$ es un rectángulo en $\mathbb{R}^n$ y si dejamos que $f$ sea continua, entonces cómo podemos demostrar que la gráfica de $f$ tiene medida cero en $\mathbb{R}^{n+1}$ ?

Podemos definir que $A$ es un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ y el gráfico de $f: A\to \mathbb R$ es el conjunto dado $\mbox{graph}(f) := \{(x,y) \in \mathbb{R}^{n+1} : f(x) = y\}$ .

Answer 1

En primer lugar, suponga que $A$ es compacto; entonces $f$ es uniformemente continua en $A$ .

Por lo tanto, fijar un $\epsilon$ y elegir un $\epsilon_1$ que se decidirá más adelante, de modo que para algunos $\epsilon_2$ tenemos que cualquier $|x-y| < \delta$ implica que $|f(x)-f(y)|< \epsilon$ .

Ahora, observe que la medida de la gráfica de $f$ , denotado por $|\Gamma(f)|$ ha limitado $$|\Gamma(f)| \leq 2 \epsilon |B(0, \delta)| N(\delta)$$ Dónde $N(\delta)$ denota el número de bolas con radio $\delta$ que se necesita para cubrir $A$ y $|B(0,\delta)|$ es la medida de la bola de radio $\delta$ en n dimensiones.

Recordemos que $|B(0,\delta)| \leq C \delta^n$ . Además, si $A$ tiene longitudes de lado $l_i$ en dimensión $i$ entonces $$N(\delta) \leq C \prod_{i=1}^n \frac{l_i}{\delta}$$ (He puesto la constante porque puede que haya sido un poco descuidado con ese límite) Así $$|\Gamma(f)| \leq 2 K \epsilon$$ para alguna constante $K$ . Pero $\epsilon$ era arbitraria, de ahí el resultado.

En general $A$ ya que $|\Gamma(f)| = 0$ en todos los compactos $A_n$ , $|\Gamma(f)| = 0$ .

Answer 2

Podemos escribir $A$ como una unión contable de conjuntos de la forma $A_k:=[a_1,a_1+1]\times \ldots \times [a_n,a_n+1]$ donde $a_i$ son números enteros.

Podemos escribir $A_k$ como una unión de $N^n$ cubos de plaza $N^{-1}$ . Los denotamos $C_{k,j}$ . Entonces el gráfico de $f$ restringido a $A_k$ está cubierto por $C_{k,j}\times 2\omega(N^{-1})$ , donde $\omega(\cdot)$ es el módulo de continuidad de $f$ . Entonces $m((A_k\times \mathbb R)\cap \mathrm{Gr}(f))\leq N^n2\omega(N^{-1})N^{-n}=2\omega(N^{-1})$ así que $m((A_k\times \mathbb R)\cap \mathrm{Gr}(f))=0$ para cada $k$ y $m(\mathrm{Gr}(f))=0$ .