Índice de un normalizador de un subgrupo

Question

Siento mi simple pregunta, sin embargo he empezado una especie de repaso sobre la teoría de grupos finitos, y he de reconocer que estoy muy oxidado, aunque nunca he sido muy brillante en esta materia.

Sin embargo, la pregunta es la siguiente:

Dejemos que $G$ sea un grupo finito y $H\leq G$ .

Demostrar que $|N_G(H):H|$ es igual al número de cosets derechos de $H$ en $G$ que son invariantes bajo la multiplicación por la derecha por $H$ . (he podido resolver esta parte)

Supongamos ahora que $|H|$ es una potencia del primo $p$ y que $|G:H|$ es divisible por $p$ . Demostrar que $|N_G(H):H|$ es divisible por $p$ .

Answer 1

Denota por $E$ el conjunto de cosets derechos de $H$ en $G$ . Como has dicho, $H$ actúa por multiplicación en el conjunto $E$ . Ahora escribe la fórmula de la clase y reduce el módulo $p$ .

Ya que necesitas, más consejos (tomo las anotaciones del enlace de uforoboa) :

$H$ actos en el plató $S$ de los cosets derechos de $H$ en $G$ . Como has dicho, hay tantos cosets invariantes bajo esta acción como $\mid N_G(H):H\mid$ . Por lo tanto, el número de órbitas de tamaño uno $S_0$ es exactamente $\mid N_G(H):H\mid$ . Por lo tanto, tiene la igualdad de clase :

$$\mid S\mid=\mid N_G(H):H\mid + \sum_{i=1}^r\mid H\mid /\mid H_i\mid$$

desde $\mid H \mid$ es una potencia de $p$ y el $H_i$ no son iguales a $H$ (recordemos que las órbitas no se reducen a un elemento en el último término) cualquier número $\mid H\mid/ \mid H_i\mid$ es divisible por $p$ . Ya que también $\mid G:H \mid =\mid S \mid$ es por suposición que se obtiene que $p$ divide $\mid N_G(H):H \mid$ .