Dejemos que $C$ sea el círculo unitario alrededor de $0$ en $\mathbb{R}^2$ .
Dejemos que $x \in [-1;1]$ .
Quiero demostrar que el área del sector circular de $K$ formado por $(0,0)$ y dos puntos de intersección $a,b \in\{(x,y)|y \in \mathbb{R}\}$ es igual a $arccos(x)$ .
Sé que tengo que demostrar que el área del sector está determinada y que contiene $ \{(z,0)| z \in [0;1]\} $ ¿pero cómo podría encontrarlo?
Para la demostración calcularemos el área del sector circular mediante fórmulas: $$A = \frac{\theta r^2}{2}$$ donde $\theta$ es el ángulo entre las líneas $p$ y $q$ .
Para la línea $p$ Tenemos dos puntos:
$$[0, 0] \text{ and } [a, \sqrt{1-a^2}]$$
Este último se deriva de $x^2+y^2=1$ , donde $x = a$ y $a \in [-1, 1]$ .
Para la línea $q$ Tenemos dos puntos:
$$[0, 0] \text{ and } [a, -\sqrt{1-a^2}]$$
Para simplificar, calcularemos la mitad del ángulo entre $p$ y $q$ , es decir, entre $p$ y $x=0$ .
Las siguientes fórmulas para el ángulo entre vectores: $$\text{cos}(\gamma)=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$$ donde en nuestro caso $$\vec{u} = (a, \sqrt{1-a^2})$$ $$\vec{v} = (1, 0)$$ Enchufar el $\vec{u}$ y $\vec{v}$ en las fórmulas, obtenemos $$\text{cos}(\gamma)=\frac{a}{\sqrt{a^2+|1-a^2|}}$$
Sabemos que $a \in [-1, 1]$ Por lo tanto $$\text{cos}(\gamma)=\frac{a}{\sqrt{a^2+1-a^2}} \implies \text{cos}(\gamma)=a$$ $$\text{cos}(\gamma)=a \implies \gamma = \text{arccos}(a)$$
Recibimos el ángulo entre $p$ y $x = 0$ . También sabemos que $p$ y $q$ son axialmente simétricos con respecto a $x$ -eje, por lo que multiplicamos el ángulo por 2: $$\theta = 2 * \text{arccos}(a)$$ para $\theta$ es el ángulo entre $p$ y $q$ .
Para terminar la prueba, vuelve a introducir el ángulo en la primera fórmula: $$A = \frac{2 *\text{arccos}(a) * 1^2}{2}$$ $$A = \text{arccos}(a)$$
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