Encontrar todos los números primos $p$ tal que $p \mid 2^p + 1$

Question

Sé que de alguna manera se parecen a los primos de Mersenne $2^p-1$ pero en este caso tenemos $2^p+1$ .

Aquí está mi intento.

Si $p \mid 2^p+1$ entonces $ \exists k \in Z$ tal que $pk = 2^p+1$ o que $2^p \equiv -1 \pmod p$ .
Por ejemplo, $2$ es un primo pero no divide $2^2 + 1 = 5$ . Sin embargo, $3$ es un primo que divide a $2^3 + 1 = 9$

Ahora, ¿cómo puedo generar todos los números que satisfacen esto?

Answer 1

Usando el pequeño teorema de Fermat $p$ divide $2^p-2$ y si añadimos su hipótesis $p|2^p+1$ entonces $p$ divide $3=(2^p+1)-(2^p-2)$

Answer 2

Obviamente, si $p\mid 2^p+1$ entonces $2^{2p}\equiv 1\pmod p$ y por lo tanto el orden del número $2$ modulo $p$ devides $2p$ y por el teorema de fermat devide también el número $p-1$ lo que significa que la orden es $2$ porque $(p,\frac{p-1}2)=1$ . Esto significa que $p=3$ .