Diferencial de una función entre colectores

Question

El libro que estamos utilizando en clase es Frank Warner Foundation of Differential Manifold and Lie Group. Sea $M,N$ sean dos suaves $d$ -el diferencial de un $C^\infty$ función $\phi:M\rightarrow N$ se define por $$d\phi: M_m \rightarrow N_{\phi(m)}$$ Para $v\in M_n$ y $g:N \rightarrow \mathbb{R}$ una función suave, definimos $$d\phi(v)(g) = v(g\circ \phi).$$

Ahora para una función suave $f:M \rightarrow \mathbb{R}$ No veo por qué el libro dice $$df(v)(g) = v(f) \frac{\partial}{\partial r}\bigg|_{r_0} g$$ de la definición anterior.

Editar: Leer la respuesta aquí parece que si conectamos $g(r) = r$ obtendremos la identidad $df(v) = v(f)$ pero ¿cómo sabemos que se mantendrá para todos $g$ ?

Answer 1

Sólo para ampliar la respuesta de Xiao; considerando el hecho de que nos referimos a derivaciones de vectores tangentes, entonces el mapa diferencial o de empuje hacia adelante;

$$[f_{*,p}(X_p)] g = X_p( g \circ f); \ X_p \in T_pM, g \in C_{f(p)}^{\infty}(N), f: M \to N$$

aquí $X_p( g \circ f) \in T_{f(p)}N$ (¿por qué?). Bueno, si usted toma $g,h \in C_{f(p)}^{\infty}(N)$ entonces;

$$[f_{*,p}(X_p)] (gh) = X_p(gh \circ f) = X_p(g \circ f \cdot h \circ f)$$

y ahora desde $X_p$ es una derivación;

$$X_p(g \circ f \cdot h \circ f) = X_p(g \circ f) \cdot h(f(p)) + g(f(p)) \cdot X_p(h \circ f) $$

$$ \hspace{1.2in}= [f_{*,p}(X_p)]g \cdot h(f(p)) + g(f(p)) [f_{*,p}(X_p)] h$$

La pieza de la linealidad también está clara ya que $X_p$ es lineal. Por lo tanto, si se toma $f: M \to \mathbb{R}$ y $(U,x^1,...,x^d)$ ser un gráfico sobre $p$ entonces;

$$\left\{\frac{\partial}{\partial x^1}\Bigr|_p,...,\frac{\partial}{\partial x^d}\Bigr|_p\right\}$$

es una base para $T_pM$ . Del mismo modo, podemos utilizar la coordenada $t$ para parametrizar una vecindad de $f(p) \in \mathbb{R}$ y así $T_{f(p)}\mathbb{R}$ tiene un vector base;

$$\frac{\partial}{\partial t}\Bigr|_{f(p)} := \frac{d}{dt}\Bigr|_{f(p)}$$

Desde $f_{*,p}$ es lineal, mapea vectores tangentes a vectores tangentes, es decir

$$f_{*,p}\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right) = \alpha \frac{d}{dt}\Bigr|_{f(p)}$$

Si evaluamos ambos lados en $t$ y utilizar la definición del diferencial que tenemos;

$$f_{*,p}\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right) t = \alpha \frac{d}{dt}\Bigr|_{f(p)} t \Rightarrow \frac{\partial}{\partial x^i}\Bigr|_p (t \circ f) = \frac{\partial}{\partial x^i}\Bigr|_p f = \alpha$$

Lo anterior se deduce del hecho de que la función de coordenadas $t$ elige la primera coordenada del mapa $f$ que es de valor real, por lo que si sólo $f$ . Ahora se deduce que;

$$f_{*,p}\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right) =\frac{\partial}{\partial x^i}\Bigr|_p f \frac{d}{dt}\Bigr|_{f(p)}$$

Answer 2

Por definición $df(v)$ es un vector tangente en $\mathbb{R}_{r_0}$ ya que $\bigg\{\frac{\partial}{\partial r}\bigg|_{r_0}\bigg\}$ es una base del espacio tangente $\mathbb{R}_{r_0}$ entonces se puede escribir como $$df(v) (\cdot) = K\frac{\partial}{\partial r}\bigg|_{r_0}(\cdot)\quad \text{ for some } K\in \mathbb{R}.$$ Para resolver esto $K$ podemos introducir la función de identidad en el vector tangente, que nos dirá $K = v(f)$ .