Espectro de la matriz simetrizable

Question

Una matriz $ M $ es simetrizable si $ M = D S $ con $ D $ una matriz diagonal cuadrada con entradas positivas, y $ S $ una matriz simétrica. ¿Qué se puede decir del espectro de $ M $ ?

Parece que puedo definir el producto interno inducido por $ D^{-1} $ , es decir $ \langle v, w \rangle = v^T D^{-1} w $ Entonces, reconoce que $ M $ es hermitiano bajo este producto interno, y luego aplicar el teorema espectral. Pero ha sido un día largo y me temo que estoy pasando algo por alto, así que una confirmación estaría bien.

Answer 1

Sí, así es, aunque supongo que te refieres a que $S$ es simétrico y real; en caso contrario, cualquier número complejo $z$ puede aparecer en el espectro de $M$ mediante el establecimiento, por ejemplo, $D=I, S = zI.$

Si $v$ es un vector propio unitario de $M$ con valor propio $\lambda$ entonces $$\lambda v^*D^{-1}v = v^*D^{-1}DSv = v^*Sv = v^*S^*v = v^*S^*D^*D^{-1}v = \lambda^*v^*D^{-1}v.$$

Desde $D$ es Hermitiano positivo-definido, por lo que también lo es $D^{-1}$ y $v^*D^{-1}v \neq 0$ Así que $$\lambda = \lambda^*$$ y $\lambda$ es real. Obsérvese que los signos de las entradas en la diagonal de $D$ no son realmente relevantes, siempre que sean distintos de cero y reales.