Número de valores propios y sus espacios propios

Question

Por tanto, dejemos que la matriz $A$ tienen los siguientes valores propios :

$$ e_1=0\\ e_2=0\\ e_3=2\\ e_4=2\\ $$

De aquí podemos deducir que la dimensión del eigespacio cuando los valores propios es $2$ es 2? ¿podemos deducirlo?

Si pudiéramos deducir eso también podríamos deducir que la dimensión del espacio nulo es $2$ desde $e_1=e_2=0$ dos valores propios que apuntan a $0$

Para aclarar un poco la cuestión :

¿Podemos concluir que el rango del eigespacio de un valor propio específico es igual al número de repeticiones del valor propio?

Answer 1

No, piensa en $$ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}. $$ El eigespacio relativo al valor propio $0$ tiene dimensión $1$ generado por $$ \begin{bmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ 0\\ \end{bmatrix}. $$ El eigespacio relativo al valor propio $2$ tiene dimensión $1$ generado por $$ \begin{bmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \\ 0\\ \end{bmatrix}. $$

Answer 2

La multiplicidad geométrica (dimensión del espacio propio) de cada uno de los valores propios de $A$ es igual a su multiplicidad algebraica (orden de la raíz del valor propio) si y sólo si la matriz $A$ es diagonalizable (es decir, para $A\in\Bbb K^{n\times n}$ existe $P,D\in\Bbb K^{n\times n}$ , donde $P$ es invertible y $D$ es diagonal, tal que $P^{-1}AP=D$ ). Sólo porque la multiplicidad algebraica de un valor propio es, en este caso, igual a $2$ no significa que la multiplicidad geométrica correspondiente sea también $2$ . La relación general entre las dos multiplicidades es que la multiplicidad algebraica es mayor o igual que la multiplicidad geométrica. Además, la igualdad se mantiene para todos los valores propios si y sólo si la matriz es diagonalizable.