Demostrar que no existe un subgrupo de orden $2$

Question

Estoy tratando de seguir un argumento expuesto en una de las conferencias de álgebra abstracta en línea de Benedict Gross.

Primero demuestra que dado $W \subset V$ un subespacio de dimensión $m$ (espacio vectorial ambiental $V$ tiene dimensión $n$ ), entonces se puede extender a una base añadiendo vectores $v_{m+1}, \ldots, v_n$ . La afirmación es entonces que si $f$ es el homomorfismo canónico $V \to V/W$ entonces $f(v_{m+1}), \ldots, f(v_n)$ es una base para $V/W$ . (No lo he probado, pero de momento lo doy por hecho). $W' = \mathrm{span}(v_{m+1}, \ldots, v_n)$ es isomorfo a $V/W$ Así que $V/W$ puede considerarse como un subgrupo de $V$ .

La idea clave es que esto no se puede hacer con grupos, pero no entiendo bien los detalles. En primer lugar, observamos que $$\begin{align*} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong \frac{2\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}} \leq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, \end{align*}$$ que está bien. Llama a $H = \frac{2\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}}$ y $G = \frac{\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}}$ . El argumento es que, entonces, a diferencia del caso de los espacios vectoriales, no puedo encontrar otro grupo cíclico de orden $2$ , $H'$ s.t. $G/H' \cong G/H$ porque $H \to 0$ en el homomorfismo $f$ .

Sólo estoy entendiendo partes de esto. Espero que alguien pueda aclararlo.

Answer 1

Cada espacio vectorial cociente $V/W$ es isomorfo a un subespacio vectorial de $V$ por el argumento que usted cita.

El argumento de Gross es que la afirmación análoga no es válida para los grupos: no todos grupo cociente $G/H$ es isomorfo a un subgrupo de $G$ . Pero algunos Los grupos cotizantes sí admiten un isomorfismo de este tipo. Tu ejemplo es uno de ellos: tienes $G/H\cong H\leq G$ .

Cuando existe tal isomorfismo, decimos que el mapa cociente "se divide".

Para un ejemplo que no se divide, considere $G=\mathbb{Z}$ y $H=2\mathbb{Z}$ . Entonces $G/H$ contiene un elemento $x$ tal que

1. $x+x=0_{G/H}$ pero
2. $x\neq 0_{G/H}$ .

Cualquier grupo isomorfo a $G/H$ debe contener un elemento de este tipo, por lo que cualquier grupo que contenga una copia isomorfa de $G/H$ debe sostenerlo. Pero $G$ no contiene ningún elemento de este tipo.