Si $g\neq g^{-1}$ para todos $g\in G\setminus \{e\}$ , entonces el orden de $G$ es impar

Question

Dado un grupo $G$ donde $g\neq g^{-1}$ para todos $g$ que no sea la identidad, mostrar el orden de $G$ es impar.

¿Qué significa para el orden del grupo $G$ ser impar?

Cualquier ayuda es bienvenida.

Answer 1

Sugerencia (asumiendo que el orden es finito ):

Empareja cada elemento con su inverso, y recuerda cuál es el inverso de la unidad del grupo...

Answer 2

Si $p$ es primo y divide el orden del grupo $G$ entonces $G$ contendrá un elemento con orden $p$ (Cauchy). Nótese que $2$ es primo. Así que si el orden de $G$ es incluso entonces $g^{2}=e$ (o, por el contrario, el $g=g^{-1}$ ) para algunos $g\in G\backslash\left\{ e\right\} $ . Este no es el caso, por lo que el orden de $G$ debe ser impar.