¿Por qué la teoría de los campos de clase es la misma que la de Langlands para GL_1?

Question

He oído a mucha gente decir que la teoría de campos de clase es lo mismo que las conjeturas de Langlands para GL_1 (y más concretamente, que Langlands local para GL_1 es lo mismo que la teoría de campos de clase local). ¿Podría alguien explicar por qué esto es cierto?

Mis antecedentes son los siguientes: Entiendo los enunciados de la teoría de campos de clases (es decir, que las extensiones abelianas corresponden a subgrupos abiertos del grupo de clases de ídem, y el cociente es el grupo de Galois de esa extensión abeliana). Sé lo que son las formas modulares y lo que es una representación de grupo, pero no mucho más que eso. Así que estoy buscando por qué el enunciado de la teoría de campos de clases que conozco es esencialmente el mismo que cierto enunciado sobre funciones L, representaciones o formas automórficas, de tal manera que un matemático más avanzado podría reconocer fácilmente este último enunciado como Langlands en dimensión 1.

Answer 1

Esta es una pregunta profunda, pero aquí hay una puñalada. Tu opinión sobre la teoría de campos de clases es la tradicional, que ciertos grupos abelianos son isomorfos. Se ha hecho un gran esfuerzo para buscar una generalización a los grupos no abelianos. Pero el hecho clave en el caso abeliano resulta no ser que ciertos grupos sean isomorfos, sino que sus grupos duales (homomorfismos en $\mathbb C^\times$ ) son isomorfas. En cierto sentido esto es trivial, porque un grupo abeliano finito es isomorfo a su dual. Pero permite ver cómo se puede generalizar al caso no abeliano: olvidarse de los grupos en sí, y pensar en cambio en sus representaciones. Una de las piezas del programa de Langlands es que $n$ Las representaciones dimensionales de los grupos de Galois corresponden a representaciones automórficas de GL(n).

Esto apenas roza la superficie. Recomiendo 'An Elementary Introduction to the Langlands Program' de Stephen Gelbart en el AMS Bulletin, v. 10 1984 pp 177-220 (así como sus otros excelentes artículos expositivos).

Answer 2

Lo que se busca es la correspondencia entre los caracteres algebraicos de Hecke sobre un campo numérico $F$ y familias compatibles de $l$ -de los grupos de Galois absolutos de $F$ . La primera parte de las notas de Laurent Fargues lo explica muy bien aquí .

EDIT: Con más detalle, como señala Kevin en los comentarios anteriores, una representación automórfica de $GL(1)$ en $F$ no es más que un carácter de Hecke; es decir, un carácter continuo $$\chi:F^\times\setminus\mathbb{A}_F^\times\to\mathbb{C}^\times$$ del grupo de clase ídem de $F$ . Puede asociar $L$ -a estas cosas: admiten continuación analítica y satisfacen una ecuación funcional. Este es el lado automórfico de Langlands global para $GL(1)$ .

¿Cómo pasar de aquí al lado de Galois? Bueno, empecemos con la historia local. Fijar algún primo $v$ de $F$ ; entonces el lado automórfico se ocupa de los caracteres $$\chi_v:F_v^\times\to\mathbb{C}^\times$$ La teoría del campo de clase local te da el isomorfismo de reciprocidad $$rec_v:W_{F_v}\to F_v^\times,$$ donde $W_{F_v}$ es el grupo de Weil de $F_v$ . Entonces $\chi_v\circ rec_v$ le da un carácter de $W_{F_v}$ . Esto es Langlands local para $GL(1)$ . El emparejamiento de los locales $L$ -funciones y $\epsilon$ -factores es básicamente tautológico.

Volvemos a nuestro carácter global de Hecke $\chi$ . Recordemos que la teoría del campo de clase global puede interpretarse como un mapa (el mapa de reciprocidad de Artin) $$Art_F:F^\times\setminus\mathbb{A}_F^\times\to Gal(F^{ab}/F),$$ donde $F^{ab}$ es la máxima extensión abeliana de $F$ . La compatibilidad local-global significa aquí que, para cada primo $v$ de $F$ La restricción $Art_F\vert_{F_v^\times}$ coincide con la inversa del mapa de reciprocidad local $rec_v$ .

Desde $Art_F$ no es un isomorfismo, no esperamos que cada carácter de Hecke esté asociado a una representación de Galois. Lo que sí es cierto es que $Art_F$ induce un isomorfismo del grupo de componentes conectados del grupo de clases de ídem a $Gal(F^{ab}/F)$ . En particular, cualquier carácter de Hecke con finito imagen será un factor a través del mapa de reciprocidad, y así dará lugar a un carácter de $Gal(F^{ab}/F)$ . Se trata de un Langlands global para caracteres de Dirichlet (o motivos abelianos de Artin).

Pero podemos decir más, suponiendo que tenemos una cierta condición de algebraicidad (o aritmeticidad) sobre nuestro carácter de Hecke $\chi$ en el infinito. Las notas de Fargues a las que se ha hecho referencia tienen una definición precisa de esta condición; creo que la idea original se debe a Weil. La idea básica es que la obstrucción a $\chi$ La factorización a través del grupo de componentes conectados del grupo de la clase de ídem (y por lo tanto a través del grupo de Galois abelianizado) se encuentra completamente en el infinito. La condición de algebraicidad nos permite "trasladar" esta parte infinita persniciosa al $l$ -ídolos primarios (para algún primo $l$ ), a costa de sustituir nuestro campo de coeficientes $\mathbb{C}$ por alguna extensión finita $E_\lambda$ de $\mathbb{Q}_l$ . Esto produce un carácter

$$\chi_l:F^\times\setminus\mathbb{A}_F^\times\to E_\lambda^\times$$

que comparte sus factores locales lejos de $l$ y $\infty$ con $\chi$ , pero ahora los factores a través de $Art_F$ . Variando sobre $l$ nos da una familia compatible de $l$ -caracteres ácratas asociados a nuestra representación automórfica $\chi$ de $GL(1)$ . El $L$ -funciones coinciden ya que sus factores locales lo hacen.