Entonces, ¿qué significa ser una función delta? Significa que algo es un objeto matemático que satisface para todos los demás agradables $f$ , $$\int_{-\infty}^{\infty} d\omega~f(\omega)~\delta(\omega) = f(0).$$ Más formalmente, resulta que el $\delta(\omega)$ nunca puede separarse realmente de la $\int_{-\infty}^\infty d\omega$ signo: nuestra escritura de $\delta(\omega)$ es realmente un fallo de notación donde querríamos describir algo más parecido, $$\int_{\mathbb R} dt~\left[f \mapsto \int_{\mathbb R} d\omega ~e^{i\omega t} f(\omega)\right] = f\mapsto 2\pi~f(0),$$ donde $\mapsto$ denota una función que acepta una función suave como entrada y la integración (en realidad, la suma y la multiplicación) de tales funciones se realiza "puntualmente" (de modo que $f + g = x\mapsto f(x) + g(x)$ por ejemplo).
Configuración de la integral
De todos modos, el enfoque general de este problema consiste en desplazar los subproblemas del eje real en una cantidad infinitesimal, de modo que $$\int_{-\infty}^\infty dt~e^{i\omega t} = \lim_{\epsilon\to 0^+}\left(\int_{-\infty}^0 dt~e^{i(\omega - i \epsilon) t} + \int_0^{\infty} dt~e^{i(\omega + i\epsilon)t }\right),$$ De ahí que tu pregunta sea en realidad uno de los "peldaños" que debemos abordar para poder manejar las integrales anteriores. Uno encuentra, por supuesto, $$\int_0^\infty dt~ e^{(i\omega - \epsilon) t} = -\frac 1{i\omega - \epsilon} = \frac{i}{\omega + i \epsilon}, ~~\epsilon > 0,$$ o sustituyendo la expresión más completa por $\mapsto$ encontraríamos que esta media integral es, $$\int_0^\infty dt~\left[f \mapsto \int_{\mathbb R} d\omega~e^{i\omega t} f(\omega)\right] = f\mapsto \lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{\mathbb R} d\omega~\frac{i}{\omega + i \epsilon}~f(\omega). $$ Es cuando intentamos evaluar esto con el análisis complejo que necesitamos el valor principal de Cauchy.
Deformación del contorno
El teorema de la integral de Cauchy nos permite deformar los contornos de la recta real en el plano complejo sin cambiar el valor. Si hacemos esto antes de tomar el límite de $\epsilon \to 0$ podemos hacer que tomar ese límite sea muy fácil. Así que deformamos el contorno un poco en la mitad imaginaria positiva del plano alrededor de $\omega = 0$ un semicírculo de radio $r$ que luego reduciremos a tamaño cero. Así que en este círculo $\omega = r~e^{i\theta}$ con $\theta: \pi \to 0$ y por lo tanto $d\omega = i~r~e^{i\theta}~d\theta.$ Para ahorrar espacio, dejemos que $k_\epsilon(\omega) = \frac i{\omega + i\epsilon},$ la expresión resultante para el lado derecho es, $$f \mapsto \lim_{r\to 0^+}\lim_{\epsilon\to 0^+} \left(\int_{-\infty}^{-r}d\omega ~k_\epsilon(\omega)~f(\omega) + \int_{r}^{\infty}d\omega ~k_\epsilon(\omega)~f(\omega) + \int_{\pi}^{0} i~r~e^{i\theta} d\theta~k_\epsilon(re^{i\theta})~f(r~e^{i\theta}) \right).$$ Ahora podemos tomar el límite $\epsilon \to 0^+$ simplemente sustituyendo $\epsilon = 0$ aquí; este contorno no choca con ninguna singularidad cuando lo hacemos. Encontramos que $k_0 = i/\omega$ y el primer término en el límite como $r\to 0^+$ es simplemente el valor principal de Cauchy de un integrando, mientras que el término de la derecha también es interesante debido a la cancelación del término a $r e^{i\theta}$ de $d\omega$ con el término $1/(r e^{i\theta})$ de $k_0$ : $$ f \mapsto \operatorname{PV}\int_{-\infty}^\infty d\omega ~\frac i\omega ~f(\omega) - \lim_{r\to 0^+} \int_{\pi}^{0} d\theta~f(r~e^{i\theta}).$$
Así que también podemos tomar este límite como $r\to 0^+$ por sustitución directa y encontramos,
$$\int_0^\infty dt~\left[f \mapsto \int_{\mathbb R} d\omega~e^{i\omega t} f(\omega)\right] = f \mapsto \operatorname{PV}\int_{-\infty}^\infty d\omega ~\frac i\omega ~f(\omega) + \pi~f(0).$$ Si el valor principal se entiende como implícito, se podría escribir en su lugar, $$ \int_0^\infty d\omega~ e^{i\omega t} = \frac{i}{\omega} + \pi~\delta(\omega).$$
¿Y el otro lado de la integral original?
Como es de suponer, la integral para los negativos $t$ es en gran medida lo contrario. De hecho, uno tiene $$\int_{-\infty}^0 dt~e^{(i\omega + \epsilon)t} = \frac{1}{i\omega + \epsilon} = \frac {-i}{\omega - i \epsilon}.$$ El análisis del valor principal es absolutamente idéntico, salvo que el numerador contiene $-i$ en lugar de $+i$ pero el semicírculo debe sumergirse en el semiplano negativo en lugar de en el semiplano positivo, lo que da como resultado: $$f \mapsto \operatorname{PV}\int_{-\infty}^\infty d\omega ~\frac {-i}\omega ~f(\omega) + \lim_{r\to 0^+} \int_{-\pi}^{0} i~r~e^{i\theta} d\theta~\frac{-i}{r e^{i\theta}} ~f(r~e^{i\theta}).$$ Así tenemos, quizás sorprendentemente, $$\int_{-\infty}^0 dt~e^{i\omega t} = - \frac{i}{\omega} + \pi~\delta(\omega).$$ La suma de estos demuestra entonces nuestra afirmación original: $$ \int_{-\infty}^\infty dt~e^{i\omega t} = 2\pi~\delta(\omega). $$
¿Dónde le falló su intuición?
Tal vez pensó que como $\delta(\omega)$ fue incluso en $\omega$ , significaba que $e^{i\omega t}$ fue incluso en $t$ . Es un razonamiento algo dudoso en general: normalmente la integral (indefinida) de una función par es una función impar. Sin embargo, ese razonamiento no es malo al 100%, sólo está dirigido al dominio equivocado: debe dirigirse a una función de $t$ . La parte real de $e^{i\omega t}$ es efectivamente par y por lo tanto podemos esperar que la parte real de la integral $0\to\infty$ es $\pi~\delta(\omega)$ tal y como finalmente hemos derivado. Pero la parte imaginaria es impar en $t$ y por lo tanto, podríamos pensar, está condenado a cancelar en el dominio $-\infty \to \infty.$ En consecuencia, podríamos haber esperado que la integral $0 \to \infty$ contiene algún término imaginario que es el negativo exacto de la integral $-\infty \to 0$ de manera que ambos se cancelen al final.
