¿Podría alguien decirme por qué $3/7\equiv 9 \mod12$ ? ¿Cómo se define esta operación y por qué a veces la división en módulo es imposible, como en el caso de $3/4 \mod 12$ ? Ver aquí para más detalles, me remito a la página 95.
No puedo entender por qué $3/7\equiv 9 \mod12$ . Dividir $3$ por $7$ lo que obtengo es $3 = 0 \times 7 + 3$ el resto es $3$ . Ahora bien, ¿cómo es igual a $9$ mod $12$ ?
Piénsalo así: $$\frac{3}{7} = 3 \cdot \frac{1}{7} = 3 \cdot 7^{-1}.$$
Así que entonces \begin{align} \frac{3}{7} \mod 12 &= (3 \cdot 7^{-1}) \mod 12\\ &= (3 \mod 12) \cdot (7^{-1} \mod 12). \end{align}
$3 \mod 12$ es sólo 3. ¿Qué es $7^{-1} \mod 12$ ? En otras palabras, encontrar $x$ para que $7x \equiv 1 \mod 12$ . Entonces multiplique esto $x$ por 3 y evaluar de nuevo el módulo 12.
Umm... cómo encontrar $x$ ? $1 \mod 12$ es $1$ Así que quiero $x$ tal que dividiendo $7x$ por $12$ da $1$ como resto. ¿Hay algún procedimiento que pueda utilizar para encontrar $x$ ?
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$1/7$ modulo $12$ es un número entero $k \bmod 12$ con $7k\equiv 1 \bmod 12$ . Esto es $k=7$ . Tenga en cuenta que ahora $3\cdot 7\equiv 9\bmod 12$ .
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