¿Qué podemos aprender sobre un grupo estudiando su monoide de subconjuntos?

Question

Si $G$ es un grupo, entonces $M(G)=2^G$ tiene una estructura monoide cuando definimos $AB$ para ser $\{ab|a\in A,b\in B\}$ y $1_{M(G)}=\{1\}$ . ¿Qué parte de la estructura de $G$ se puede recuperar estudiando la estructura de $M(G)?$ ¿Hay algún ejemplo conocido de una clase sensiblemente grande $\mathscr{C}$ de grupos, para los que se cumple la siguiente implicación?

Para cualquier $G,H\in \mathscr C,$ si $M(G)\cong M(H),$ entonces $G\cong H.$

¿Podría darme alguna referencia sobre el monoide de subconjuntos de un grupo?

Editar: Escribiré aquí lo que se me ocurrió después de hacer la pregunta. Por favor, comentadlo también.

He encontrado una estructura divertida que creo que es isomorfa a $M(G).$ Dejemos que $B=(\{0,1\},,).$ Es un semirremolque en el que las sumas infinitas (y los productos, en realidad) están bien definidos. Si no me equivoco, podemos definir el "semiring de grupo" $B[G]_\infty$ al igual que definimos los anillos de grupo, pero sin la restricción de soportes finitos. Parece que la estructura multiplicativa de $B[G]_\infty$ es isomorfo a $M(G).$ La estructura aditiva de $B[G]_\infty$ parece ser isomorfo a $(M(G),\cup).$

Si mantenemos la restricción de soportes finitos y definimos $B[G]$ como lo haríamos con un anillo de grupo, creo que es equivalente a cambiar $2^G$ a la familia de todos finito subconjuntos de $G$ en la definición de $M(G).$

No he escrito las pruebas de estas cosas, pero lo haré si alguien cree que es una buena idea.

Editar: No sé lo cerca que estoy, pero por si sirve de algo. Bien, entonces $M(G)$ tiene una estructura de sembrado aditivo idempotente. En efecto, tomemos $(M(G),\cup,\cdot,\emptyset,\{1\}).$ La estructura aditiva es obviamente la de un monoide idempotente conmutativo. La estructura multiplicativa es la de un monoide. Las leyes distributivas se mantienen porque:

$ \begin{eqnarray} \left(\forall A,B,C\in M(G)\right) \;\;\; A(B\cup C) &=& \{ax\,|\,a\in A\wedge x\in B\cup C\}=\{ax\,|\, a\in A\wedge (x\in B\vee x\in C)\}\\ &=& \{ax \,|\,(a\in A\wedge x\in B)\vee (a\in A\wedge x\in C)\} \\ &=& \{ax\,|\,a\in A \wedge x\in B\}\cup\{ax\,|\,a\in A \wedge x\in C\}\\ &=& AB\cup AC, \end{eqnarray} $

y análogamente

$\left(\forall A,B,C\in M(G)\right) \;\;\; (B\cup C)A=BA\cup CA.$

Ahora, en este semirremate existe el subconjunto $G'=\left\{\{g\}\,|\,g\in G\right\}.$ La estructura multiplicativa de este subconjunto es isomorfa a $G.$ Supongamos que tenemos el sembrado $(M,+,\cdot,0,1)$ y sabemos que $M\cong M(G)$ para algún grupo $G.$ (El isomorfismo es entre semirings, no monoides.) Entonces, encontrar la estructura de $G$ equivale a reconocer $G'$ dentro de $M.$ Pero esto es posible cuando tenemos la estructura aditiva. $G'$ es el conjunto de todos los elementos $g$ tal que la ecuación $g+x=g$ tiene exactamente una solución, es decir $0.$

Esto, si no me equivoco, significa que el sembrar estructura de $M(G)$ da la estructura de $G$ sin ambigüedades. Así que tal vez, teniendo la monoide $M(G),$ ¿podríamos probar que hay una única operación aditiva que convierte a este monoide en un sembrado (aditivamente idempotente)?

Editar: Esto es para anunciar que he pedido un pregunta de seguimiento en MO. Se trata de si la clase de semigrupos inversos está determinada globalmente (como se define en mi respuesta más adelante). Los semigrupos inversos pueden verse como grupos generalizados y me gustaría saber si conservan esta propiedad particular de los grupos.

Answer 1

Creo que siempre es cierto que $M(G)\cong M(H)$ implica $G\cong H$ . Porque dejemos $\phi:\ M(G)\rightarrow M(H)$ sea un isomorfismo monoide. Nótese que los únicos elementos $x\in M(G)$ tal que existe $y\in M(G)$ con $xy=1$ son los subconjuntos de un elemento de $G$ . Es decir, los elementos invertibles en $M(G)$ son los subconjuntos de un elemento de $G$ y el producto monoide en $M(G)$ restringido a estos subconjuntos de un elemento de $G$ es sólo el producto de grupo de $G$ . Así, $\phi$ restringido a estos elementos invertibles induce un isomorfismo entre $G$ y $H$ .

Answer 2

Resulta que ha habido una gran cantidad de investigación sobre los semigrupos de todos los subconjuntos (finitos/no vacíos) de un semigrupo. Por alguna razón los autores parecen preferir considerar sólo los subconjuntos no vacíos y me ceñiré a esta convención en este post.

Dado que la pregunta ha sido favorecida por cinco personas que no soy yo, entiendo que los resultados obtenidos pueden ser de interés para la comunidad. Voy a publicar algunas cosas que he encontrado, especialmente la terminología y las referencias para que cualquiera pueda hacer más búsquedas por sí mismo.

El semigrupo de todos los subconjuntos no vacíos de un semigrupo $S$ se llama semigrupo de potencia de $S,$ o el global de $S,$ y se denota por $\mathcal{P}(S).$ Semigrupos $S_1,S_2$ se dice que son globalmente isomorfo si $\mathcal P(S_1)\cong \mathcal P (S_2).$ Una clase de semigrupos $\mathscr C$ se dice que determinado globalmente si para cualquier semigrupo $S_1,S_2$ de $\mathscr C,$ si $S_1,S_2$ son globalmente isomorfas, entonces son isomorfas.

El hecho de que la clase de los grupos esté globalmente determinada fue señalado por primera vez por J. Shafer en /5/ y el razonamiento fue, por supuesto, como el de Steve D. La pregunta de si la clase de todos los semigrupos está determinada globalmente fue planteada en los años 60 y contestada negativamente por E.M. Mogiljanskaja en /4/. La pregunta tiene una respuesta positiva para la clase de semigrupos de transformación completa (es más, cualquier semigrupo globalmente isomorfo a un semigrupo de transformación completa debe ser isomorfo a éste). Esto fue demostrado por Vazenin en /6/. M. Gould y J. A. Iskra demostraron en /1/ que la clase de semigrupos finitos simple semigrupos está determinada globalmente. Posteriormente, Tamura la extendió a las clases de semigrupos completamente simples y completamente 0-simples (véase el último enlace para encontrar las definiciones de estos términos).

Gould, Iskra y C. Tsinakis demostraron posteriormente en /2/ otro resultado, que necesita una definición.

Definición. Un elemento $x$ de un semigrupo $S$ se llama irreducible si para cualquier $y,z\in S$ tal que $x=yz,$ tenemos $x\in\{y,z\}.$

Tenga en cuenta que $x$ es irreducible si $S\setminus\{x\}$ es un subsemigrupo de $S.$ Tamura y Shafer ya denominaron a estos elementos "primos". El teorema dice lo siguiente.

Teorema. La clase de todos los completamente regular periódico monoides en los que el elemento de identidad es irreducible está determinado globalmente.

Finalmente, Y. Kobayashi demostró en /3/ que la clase de todos los semilátices (tratados como estructuras algebraicas) está determinada globalmente.

Referencias.

/1/ M. Gould, J.A. Iskra, Clases globalmente determinadas de semigrupos , Semigroup Forum Vol. 28 (1984), 1-11.

/2/ M. Gould, J.A. Iskra, C. Tsinakis, Globales de grupos periódicos completamente regulares , Semigroup Forum Vol 29 (1984), 365-374.

/3/ Y. Kobayashi, Los semilattices están determinados globalmente , Semigroup Forum Vol. 29 (1984), 217-222.

/4/ E. M. Mogilianskaja, La solución de un problema de Tamura, Sbornik Naučnyh Trudov Leningrado. Gos. Ped. Inst., "Modern Analysis and Geometry", (1972), 148-151.

/5/ J. Shafer, Nota sobre semigrupos de potencia , Matemáticas. Japan. 12 (1967), 32.

/6/ Ju. M. Vazenin, Sobre el sobresemigrupo global de un semigrupo simétrico , Mat. Zap. Ural. Gos. Univ 9 (1874), 3-10.

Answer 3

Se sabe mucho sobre el monoide $\mathcal{P}(G)$ de subconjuntos de un grupo finito $G$ (también llamado grupo de poder ). Por ejemplo, dos subgrupos de $G$ son conjugados si y sólo si son $\mathcal{J}$ -equivalente en $\mathcal{P}(G)$ . Para más detalles, consulte

J.-É. Pin, PG = BG, a success story, en NATO Advanced Study Institute Semigroups, Formal Languages and Groups, J. Fountain (éd.), 33-47, Kluwer academic publishers, (1995). http://www.irif.fr/~jep/PDF/BGPG.pdf