Posible duplicado:
La matriz es conjugada a su propia transposición
¿Cómo puedo demostrar que una matriz es similar a su transposición?
Mi planteamiento es: si $A$ es la matriz entonces $f$ es la aplicación asociada de $K^n\rightarrow K^n$ . Definir $g:K^n\rightarrow (K^n)^*$ por $g(e_i)=e_i^*$ y definir $f^T$ para ser la aplicación de transposición de $f$ . He demostrado que $f^T=gfg^{-1}$ . Lo que no entiendo es, cuál es la matriz asociada a $g$ para que pueda escribir $A^T=PAP^{-1}$ .
Considera...
$$B^{-1} = B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & \ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad J = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & \lambda & 1 \\ & & & \lambda \end{bmatrix} $$
Entonces $B^{-1}J^TB = J$ . Así, un bloque de Jordan $J$ y su transposición $J^T$ son similares. Por lo tanto, el uso de $B_1,\dots B_\ell$ para cada bloque de Jordan $J_1,\dots,J_\ell$ y dejar que $$B = \begin{bmatrix} B_1 & & & \\ & B_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & B_\ell \end{bmatrix} \qquad \mathrm{and} \qquad J = \begin{bmatrix} J_1 & & & \\ & J_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_\ell \end{bmatrix}$$ Entonces $B^{-1}J^TB=J$ . Por lo tanto, una forma de Jordan y su transposición son similares.
Por último, ponga $A$ en su forma jordana: $P^{-1}AP=J$ entonces $J^T = (P^{-1}AP)^T=P^TA^T(P^T)^{-1}$ así pues $A$ es similar a $J$ . $J$ es similar a $J^T$ y $J^T$ es similar a $A^T$ . Por lo tanto, por transitividad $A$ y $A^T$ son similares.
¿Esto no requiere que $K$ es algebraicamente cerrado? Para evitar este tecnicismo, hay que demostrar que $A$ y $B$ son similares en $K$ sólo si $A$ y $B$ son similares en $K'$ (alguna extensión de campo de $K$ ). Pero esencialmente, todo lo que necesitamos es que $A$ y $B$ son similares si y sólo si tienen la misma forma canónica racional, y esa relación no cambiará cuando la consideremos sobre una extensión de campo.
Sí. Una posible reparación (insatisfactoria) para extender a campos no cerrados es notar que como son similares en un campo de extensión, sus factores invariantes coinciden. Por lo tanto, comparten la misma forma canónica racional y por lo tanto son similares sobre el campo base.
Pregunta tonta, pero ¿por qué sabemos que $J^T$ es similar a $A^T$ ? $J^T$ no está necesariamente en la forma normal de Jordania, ¿verdad? Así que no es necesariamente la forma normal de Jordan de $A^T$ ?
Obsérvese que la inversión del orden de las bases (conjugando por la matriz con unos desde abajo a la izquierda hasta arriba a la derecha y ceros en el resto) lleva un bloque de Jordan a su transposición, por ejemplo
$$ \left( \begin{array}{ccc} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a&1&0\\ 0&a&1\\ 0&0&a\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} a&0&0\\ 1&a&0\\ 0&1&a\\ \end{array} \right) $$
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Esta pregunta ya se ha formulado y respondido aquí math.stackexchange.com/questions/62497/ .
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¿podría ayudarme a completar mi argumento?
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@..: El artículo que has enlazado muestra que $A$ y $A^T$ son siempre conjugadas por una matriz simétrica no singular, y utiliza el hecho "bien conocido" de que $A$ y $A^T$ son siempre conjugados. Una precisión interesante, pero que no responde realmente a esta pregunta.