Esta es una cuestión que he intentado resolver de la siguiente manera
Considere $A$ sea un conjunto cerrado en $\Bbb R$ Por lo tanto, $\Bbb{R}\smallsetminus A$ Por el teorema de la representación de los conjuntos abiertos, todo conjunto abierto en $\Bbb R$ puede escribirse como la unión de una colección contable de intervalos abiertos disjuntos.
$\Bbb{R}\smallsetminus A=\bigcup I_n$ Donde $I_n$ es un intervalo abierto en el que n es un conjunto de índices contables.
$\Bbb{R}\smallsetminus(\Bbb{R}\smallsetminus A)=A$ $=\Bbb{R}\smallsetminus\cup I_n $ $=\bigcap (\Bbb{R}\smallsetminus I_n)$ lo que implica $A$ es la intersección contable del conjunto cerrado .
Tuve que demostrar que es la intersección de la intersección contable de conjunto abierto, pero tengo otra respuesta ¿Dónde está mi error en el argumento? Cualquier ayuda será apreciada
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esto funciona en todos los espacios métricos $(X, d) $ :
Pistas: Dejemos que $A$ se cerrará en $X$ entonces
- $A=\{x:d(x, A) =0\} $
- Considere $A_n:=\{x:d(x, A) <\frac1n\} $ .
donde $d(x, A) $ denota la distancia del punto $x$ para establecer $A$ es decir $$d(x, A) =\inf_{a\in A} d(x, a) $$ Y específicamente para $\Bbb R$ la función de distancia viene dada por $d(x, y) :=\vert y-x\vert$ .
Para $k=1,2,...$ , cubren la línea real con los intervalos $(n/2^k-1/2^{k+1},(n+1)/2^k+1/2^{k+1})$ , para $n\in\mathbb{Z}$ . Definir $U_k$ para ser la unión de aquellos intervalos de esta colección que intersecan su conjunto cerrado $C$ .
La afirmación es que $\cap_k U_k=C$ . Claramente $C\subset\cap_k U_k$ porque $C\subset U_k$ para todos $k$ .
Supongamos que $x\in\cap_k U_k$ . Entonces, para cada $k$ hay un $n_k\in\mathbb{Z}$ tal que $x\in(n_k/2^k-1/2^{k+1},(n_k+1)/2^k+1/2^{k+1})\subset U_k$ . Pero este intervalo contiene algún punto $c_k\in C$ por definición de $U_k$ . Por lo tanto, $c_k\to x$ porque los tamaños de esos intervalos $1/2^k-1/2^{k+1}\to0$ . Por lo tanto, $x\in C$ porque $C$ está cerrado.
