Pruébalo: $(x+y)(y+z)(z+x)\ge8(x+y+z)\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

Question

Dejemos que $x,y,z>0$ Pruébalo: $$(x+y)(y+z)(z+x)\ge8(x+y+z)\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$$

De nuevo, pienso en Schur, y la desigualdad se invierte de nuevo. Por Schur, $$(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz$$ y tenemos que demostrar $$xyz\ge(x+y+z)\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$$ Pero de hecho, $$(x+y+z)\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\ge xyz$$ Sé que mi problema es que si $a\ge b$ , $a\ge c$ no significa que $b\ge c$ Por favor, ayúdenme con esta pregunta y ¿pueden darme alguna experiencia para salir de esta manera equivocada de pensar para que pueda haber muchas direcciones nuevas?

Answer 1

Propuesta . $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac 83(x+y+z)\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

Para demostrar la Proposición, se utiliza el siguiente lema insinuado por Paresseux Nguyen.

Lema . $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac 89(x+y+z)(xy+yz+zx)$

Prueba . Se utilizan los polinomios simétricos elementales: $$s_1=x+y+z,s_2=xy+yz+zx,s_3=xyz.$$ Entonces el enunciado del lema es equivalente a $$9(s_1-x)(s_1-y)(s_1-z)\geq 8s_1s_2$$ $$\Leftrightarrow 9(s_1^3-s_1s_1^2+s_2s_1-s_3)\geq 8s_1s_2$$ $$\Leftrightarrow s_2s_1\geq 9s_3$$ $$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)(x+y+z)\geq 9xyz,$$ lo que es cierto si se aplica AM-GM dos veces. $\Box$

Prueba de la proposición . A partir del lema, basta con observar que $$xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2},$$ por AM-GM. $\Box$

Answer 2

Creo que debería ser $$(x+y)(x+z)(y+z)\geq\frac{8}{3}(x+y+z)\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.$$

Dejemos que $x+y+z=3u$ , $xy+xz+yz=3v^2,$ donde $v>0$ y $xyz=w^3$ .

Así, $u\geq v\geq w$ y tenemos que demostrarlo: $$9uv^2-w^3\geq8uw^2$$ o $$9uv^2\geq8uw^2+w^3,$$ lo cual es obvio porque $uv^2\geq uw^2$ y $uv^2\geq w^3$ .