La dualidad de $L^p$ espacios

Question

Dejemos que $p,q\in(1,\infty)$ sea tal que $1/p+1/q=1$ y que $(\Omega, \mathcal A,\mu)$ ser un $\sigma$ -espacio de medida finita.

Reclamación: El mapa $$\phi:L^q(\Omega)\to \left(L^p(\Omega) \right)^*,\quad \phi(g)(f)=\int_\Omega fgd\mu$$ es un isomorfismo isométrico.

Demostrando que $\phi$ está bien definida, es lineal y continua no fue demasiado difícil. También demostré que $\|\phi(g)\|_{(L^p)^*}\leq \|g\|_{L^q}$ se mantiene, pero falló al mostrar la desigualdad inversa. Esto me lleva a

Pregunta 1: ¿Cuál sería una función $f\in L^p(\Omega)$ con $$\int_{\Omega} fgd\mu=\|g\|_{L^q}\quad ?$$

Para demostrar que $\phi$ es un isomorfismo, basta con demostrar que es biyectiva. Puedo demostrar la inyectividad pero no la subjetividad, por lo tanto

Pregunta 2: ¿Por qué es $\phi$ ¿subjetivo?

Answer 1

Pregunta 1 : elija $f=g^{q-1}\cdot sign(f)$ Pregunta 2: Observe que $\phi \in \Big(L^q(\Omega) \Big)^{*}$ podemos definir $$\nu (A)=\phi( \mathbb{1} _{A})$$ , $\nu$ es una medida y absolutamente continua según $\mu$ por lo que con el Teorema de Radon-Niodim obtenemos $g$ que funciona para $f$ un indicador. Concluimos inmediatamente que $g$ trabajo para la función simple. Para $f$ en general tenemos $f_n\to f$ funciones sencillas que $|f_n|\leq|f|$ (la constracción normal) y así desde el Teorema de Convergencia Dominada $g$ funcionará para todos $f$ . Q.E.D

Answer 2

Dejemos que $f(x)=0$ cuando $g(x)=0.$ Dejemos que $f(x)=|g(x)|^{q-2}\cdot \overline {g(x)}$ cuando $g(x)\ne 0.$ Desde $|f(x)|=|g(x)|^{q-1}$ y $p(q-1)=q,$ tenemos $|f(x)|^p=|g(x)|^q$ y $f(x) g(x)=|g(x)|^q.$

Tenemos $\psi (g)(f)=\|g\|^q_q$ y $\|f\|_p=\|g\|_q^{q/p}=\|g\|_q^{q-1}$ . Así que $$ \psi (g)(f)=\|g\|_q^q=\|g\|_q\cdot \|g\|_q^{q-1}=\|g\|_q\cdot \|f\|_p.$$ Y $g\ne 0\implies f\ne 0.$

Cuando $g\geq 0$ podemos escribir simplemente $f=g^{q-1}.$