Cauchy utilizó el teorema de Cauchy-Davenport para demostrar que $ax^2 + by^2 + c \equiv 0 \pmod p$ tiene soluciones siempre que $abc \neq 0$ . Lagrange utilizó este resultado para establecer su teorema de los cuatro cuadrados. Me gustaría conocer algunas referencias sobre estos resultados. Gracias de antemano.
Respuesta
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Para demostrar que $ ax^2 + by^2 + c \equiv 0 \pmod{p} $ tiene una solución, podemos utilizar el principio de encasillamiento. Suponiendo que $ a, b \neq 0 \pmod{p} $ y que $ p $ es impar, hay $ (p+1)/2 $ cuadrados perfectos módulo p. Dado que $ x \to ax $ y $ x \to bx $ son permutaciones de $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ Esto implica que $ ax^2 $ y $ -by^2 - c $ tomar $ (p+1)/2 $ valores distintos cada uno. Si no coinciden en algún $ x, y $ , $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ habría $ p+1 $ elementos: contradicción. Para el caso $ p = 2 $ basta con comprobar que $ (0, 1) $ es una solución de $ x^2 + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod{2} $ .
Para demostrar el teorema de Lagrange a partir de esto, observamos que por un resultado de Euler, el producto de sumas de cuatro cuadrados es a su vez una suma de cuatro cuadrados. Por lo tanto, basta con demostrar el resultado para los primos $ p $ . Por nuestro resultado anterior, $ x^2 + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod{p} $ tiene una solución, por lo tanto hay enteros $ x, y, n $ tal que $ x^2 + y^2 + 1 = np $ . Sin pérdida de generalidad (eligiendo $ x, y < p/2 $ ) podemos suponer que $ n < p $ . Ahora, dejemos que $ k $ sea el menor número entero positivo tal que $ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = kp $ para algunos $ a, b, c, d $ . Supongamos que $ k > 1 $ y considerar para cada uno $ x_i $ el único número entero $ y_i $ que satisface $ x_i \equiv y_i \pmod{k} $ y $ (-k+1)/2 \leq y_i \leq k/2 $ . Entonces, tenemos $ y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 = kq $ para algunos $ q \leq k $ . Primero descartamos dos casos: si tenemos $ y_i = k/2 $ para todos $ i $ , entonces debemos tener que $ kp $ es un múltiplo de $ k^2 $ lo que contradice la primalidad de $ p $ y el hecho de que $ k \leq n < p $ . Asimismo, no podemos tener esa $ y_i = 0 $ para todos $ i $ . Estos nos dan que $ q \neq k $ por lo que la desigualdad es estricta; además, tenemos que $ q > 0 $ .
Ahora, una apelación al resultado de Euler mencionado anteriormente nos dice que tenemos
$$ k^2 pq = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2 $$
para algunos $ z_i $ . Además, las expresiones explícitas del $ z_i $ (que no escribiré aquí, pueden buscar el teorema de los cuatro cuadrados de Euler) nos permiten deducir que tenemos $ k | z_i $ para todos $ i $ . Por lo tanto,
$$ pq = \left( \frac{z_1}{k} \right)^2 + \left( \frac{z_2}{k} \right)^2 + \left( \frac{z_3}{k} \right)^2 + \left( \frac{z_4}{k} \right)^2 $$
Esto contradice la minimidad de $ k $ ya que $ q < k $ . Por lo tanto, debemos tener $ k = 1 $ .
