¿Existe un subconjunto denso de $\mathbb{R}^2$ con todas las distancias están inconmensurables?

Question

1. Hay una serie $S$ de los puntos en el avión real $\mathbb{R}^2$ tal forma que:

   • hay un punto perteneciente a $S$ en cualquier vecindad de cada punto de $\mathbb{R}^2$ ($S$ es densa) y
   • la proporción de cualquiera de las dos distancias entre los puntos en $S$ es un irracional número?

2. Reemplazar irracional con trascendental.

3. Reemplazar irracional con la no-período; 3'. Reemplazar irracional con la no-computable.

4. En cada una de las preguntas anteriores, puede $S$ ser realizado innumerables?

Answer 1

1, 2, 3. Deje $R$ ser un cocountable subconjunto de $\mathbb{R}$. Vamos a construir una contables subconjunto denso $S$ $\mathbb{R}^2$ de manera tal que la proporción de cualquiera de las dos distancias entre los puntos en $S$ pertenece a $R$. Para ello, comienza por la colocación de dos puntos de $s_1, s_2 \in S$ unidad de distancia de distancia. Ahora enumerar los discos con rational centro y racional de la radio en $\mathbb{R}^2$ y en el lugar de los puntos de $s_n$ en el interior de cada disco en vez de satisfacer la condición dada. Esto siempre es posible debido a que el conjunto de todos los puntos en los que se $s_n$ no puede ser colocado es una contables de la unión de los conjuntos de medida cero (uno para cada posible relación de dos distancias fuera de la $S$), por lo tanto tiene medida cero.

El mismo argumento, junto con la inducción transfinita también debe establecer 4, pero no he pensado muy cuidadosamente.