Para cualquier serie condicionalmente convergente $\sum _{n=1}^\infty a_n,\ \exists\ k\geq 2\ $ de manera que la subserie $\sum _{n=1}^\infty a_{nk}$ converge.

Question

Una subserie de la serie $\displaystyle\sum _{n=1}^\infty a_n$ se define como una serie de la forma $\displaystyle\sum _{k=1}^\infty a_{n_k}$ , para $n_k \subseteq \Bbb N$ .

Demostrar o refutar: Para cualquier series condicionalmente convergentes $\displaystyle\sum _{n=1}^\infty a_n,\ \exists\ k\geq 2\ $ de manera que la subserie $\displaystyle\sum _{n=1}^\infty a_{kn}$ converge.

Ciertamente, toda serie condicionalmente convergente tiene algunas subseries que convergen (términos alternos decrecientes), y algunas subseries que divergen (la subserie de todos los términos positivos; también la subserie de todos los términos negativos).

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Mi "respuesta" original que ahora dudo es un contraejemplo de la proposición:

Sugerencia: Encuentre un subconjunto $\ A \subset \mathbb{N}\ $ con la propiedad de que, para cada $\ n \in \mathbb{N},\ $ el conjunto $ \{kn\}_{k \in \mathbb{N} }$ tiene un número finito de elementos en común con $A.$

Respuesta: Los números primos son el ejemplo estándar de tal subconjunto de $\mathbb{N}$ con la propiedad en la pista. Se trata de hacer que los miembros 2º, 3º, 5º, 7º, ... de nuestra secuencia tengan un signo, y todos los demás miembros de nuestra secuencia tengan otro signo. Por ejemplo, $$ a_1 = \frac{1}{1},\ a_2 = \frac{-1}{4},\ a_3 = \frac{-1}{4},\ a_4 = \frac{1}{3},\ a_5 = \frac{-1}{4},\ a_6 = \frac{1}{5},\ a_7 = \frac{-1}{6},\ a_8 = a_9 = a_{10} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{7},\ a_{11} = \frac{-1}{8},\ ... $$ Esto es simplemente la serie armónica alterna dividida de una manera que (pensé) responde a la pregunta.

Que fue mi respuesta, pero ahora no estoy seguro de que la serie anterior sea un contraejemplo válido. La construí de manera que cada subserie de la forma $\displaystyle\sum _{n=1}^\infty a_{kn}$ contiene un número finito de números negativos. Y entonces no estoy seguro de cuál era mi lógica. O bien era que " toda subserie de una serie divergente monótona diverge ", pero ahora me doy cuenta de que esto no es lo que dice el enlace, y además no es cierto. O mi razonamiento era que, para cada $k \in \mathbb{N},\ $ cada subserie $\displaystyle\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{kn}$ de la serie armónica, diverge, lo cual es cierto, pero las subseries de mi serie definida anteriormente no coinciden con estas subseries de la serie armónica.

Así que el problema sigue abierto...

Answer 1

La idea de tus primos es buena. Sólo hay que retocarla un poco para que quede claro que la idea funciona. En particular, se basa en una teoría numérica no trivial, pero este tipo de interacción es parte de la diversión de las matemáticas.

Este es el plan: Usaremos la serie armónica en los números compuestos. Esta normalmente diverge (por supuesto), pero como hay infinitos primos, tenemos infinitas oportunidades de reducirla a $0$ . Luego demostraremos que esto converge (es obvio que no converge absolutamente). Por último, utilizaremos tu idea de que las progresiones aritméticas sólo se cruzan con los primos finitamente para concluir.

Para ser claros, nuestra secuencia será:

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \mathbf{n} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline \mathbf{a_n} & 1 & -1 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} & \frac{1}{10} & -(\frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10}) & \frac{1}{12}\\ \hline \mathbf{\sum_{i \leq n} a_i} & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} + \frac{1}{9} & \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} & 0 & \frac{1}{12} \\ \hline \end{array} $$

y así sucesivamente.

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Es obvio que la suma tiende a permanecer alrededor de $0$ pero es pas es obvio que converge a $0$ . Después de todo, ¿quién puede decir que no tendremos un largo periodo de sequía entre primos en el que nos movemos por encima de $10^{-100}$ ? No es necesario que esto ocurra a menudo. Basta con que ocurra infinitas veces para que la convergencia se arruine.

Afortunadamente, esto no puede ocurrir. Es un corolario del teorema del número primo que para cualquier $\epsilon$ nos gusta, la distancia entre primos es eventualmente $\epsilon$ proporcionalmente pequeño. Puede leer más sobre esto en wikipedia pero he transcrito el hecho relevante aquí:

Para todos $\epsilon > 0$ para todos los grandes $k$ (donde "grande" depende de $\epsilon$ ), tenemos $p_{k+1} - p_k \leq \epsilon p_k$

¿Por qué esto garantiza la convergencia? Bien, dejemos que $\epsilon > 0$ . Queremos demostrar que, finalmente, nos mantenemos dentro de $\epsilon$ de $0$ . Pero si $n$ es mayor que $p_k$ (como garantiza el teorema anterior), vemos:

$$ \begin{aligned} \sum_{i \leq n} a_i &\leq \sum_{i < p_{l+1}} a_i \\ &\leq H(p_{l+1}) - H(p_l) \\ &\sim \log(p_{l+1}) - \log(p_l) \\ &= \log(\frac{p_{l+1}}{p_l}) \\ &\leq \log(\frac{p_l + p_l \epsilon}{p_l}) \\ &= \log(1 + \epsilon) \\ &\leq \epsilon \end{aligned} $$

Aquí $p_l$ es el primo inmediatamente anterior a $n$ y $H(m)$ es el $m$ th número armónico .

Pero entonces para $n$ grande, $\sum_{i \leq n} a_i \leq \epsilon$ y nuestra serie converge (condicionalmente) a $0$ .

¡Ahora podemos terminar! Como has notado, cualquier secuencia $(kn)_{n \in \mathbb{N}}$ sólo puede intersecar a los primos un número finito de veces (de hecho, a lo sumo una vez). Así que para cualquier secuencia de esa forma, vemos $\sum_n a_{kn}$ contiene una cola de la serie armónica (supongo que estamos fuera de un factor de $\frac{1}{k}$ pero ¿qué es una constante entre amigos?), y diverge.

Gracias por preguntar esto ¡fue muy divertido!

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Espero que esto ayude ^_^

Answer 2

(Esta es una versión simplificada de mi solución anterior, cuando utilicé series armónicas para rellenar "huecos") La afirmación no es cierta.
Para ver esto fija una secuencia creciente de primos $p_{l}$ tal que $lim_{l\to\infty} (p_{l+1} - p_{l}) = \infty$ y definir $a_{n}$ tal que $a_{n} = \frac{1}{l}$ si $n=p_{l}$ .
Para completar las lagunas en la definición de $a_{n}$ donde n está entre $p_{l}$ y $p_{l+1}$ set $a_{n} = - \frac{1}{l*(p_{l+1} - p_{l})}$ En palabras, $a_{n}$ es positivo sólo para $n=p_{l}$ y su valor para tal $n$ es $\frac{1}{l}$ ; luego le siguen entradas pequeñas, negativas e idénticas que suman $\frac{1}{l}$ y luego otra vez $a_{n}$ para $n= p_{l+1}$ que es $\frac{1}{l+1}$ seguido de entradas negativas que suman $\frac{1}{l+1}$ . Observamos que la suma de términos en "bloque negativo" es $\frac{1}{l}$ de ahí la suma de un sub-bloque que se representa por una progresión aritmética con diferencia $k$ que caen en dicho bloque es $\frac{1}{lk}$ .
Por último, si tomamos una subserie de la forma $a_{nk}$ entonces los índices nunca son primos por lo que todos los términos son negativos. Además, esta sub serie, en cada sub bloque suma $-\frac{1}{kl}$ y cuando se suma por l es divergente.
Adenda, tenga en cuenta que la serie original $\sum a_{n}$ es convergente. Esto se deduce fácilmente observando la diferencia entre las sumas parciales (es decir, comprobando que las sumas parciales forman la sucesión de Cauchy).