Paradoja de los gemelos Paradoja

Question

Hace poco me han explicado la relatividad especial de una manera bastante elegante. Todos los objetos viajan a la velocidad de la luz en el espacio-tiempo. Así, cuando se viaja más rápido a través de las tres dimensiones del espacio, la velocidad a la que se viaja en el tiempo disminuye. Los fotones no experimentan el tiempo porque toda su velocidad está en las direcciones espaciales y ninguna está en el tiempo.

Teniendo en cuenta el universo cuatridimensional que esto invoca, ¿cómo puedo interactuar con algo que haya viajado a una velocidad diferente a la mía, a menos que cambie de dirección para encontrarse conmigo?

En los términos de la paradoja de los gemelos, ¿cómo es posible que los gemelos se encuentren? El gemelo A, permanece en la tierra viajando a una velocidad fija en el espacio-tiempo. El gemelo B sale de la tierra viajando más rápido en el espacio y más lento en el tiempo, pero sigue viajando a c en el espaciotiempo.

Algo de geometría básica me dice que si dos objetos obligados a viajar a una velocidad fija desde el mismo origen en direcciones cambiantes (en cualquier número de dimensiones) que no hay manera de que sus ubicaciones futuras puedan ser las mismas a menos que ambos cambiar de dirección para ofrecer la posibilidad de intersección.

Si la Tierra viaja a una velocidad fija y el Gemelo B viaja a una velocidad fija en un espacio (no importa la dimensión) entonces no hay manera de que puedan volver a estar en el mismo lugar en el espacio-tiempo a menos que la Tierra cambie de dirección y se encuentre con el Gemelo B en el medio.

¿No estarían condenados para siempre a estar en lugares diferentes a lo largo del eje del tiempo, a menos que el gemelo A realice un viaje relativista para permitir que el gemelo B lo alcance? ¿No deberíamos esperar que el tiempo se comportara de la misma manera que las dimensiones espaciales?

Answer 1

Esa forma de pensar es muy bonita. ¿De "El Universo Elegante"?

De todos modos, matemáticamente, se puede definir esta cuatro-velocidad como la velocidad normal, la derivada del tiempo de la posición. Sin embargo, en la relatividad especial, la posición es el espacio y el tiempo $(t, x, y, z)$ . Y la derivada tiene que ser con respecto al tiempo adecuado (o parámetro de la curva) $\tau$ :

$$ u = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau} x $$

Las velocidades que normalmente se miden se calculan con respecto a $t$ . Así que necesitamos la regla de la cadena aquí: $$ \frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau} = \gamma \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$$

Así que la cuatro-velocidad es, tomando $c = 1$ : $$ u = \gamma \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (t, x, y, z) = \gamma (1, v_x, v_y, v_z) $$

Como has dicho:

Todos los objetos viajan a la velocidad de la luz en el espacio-tiempo.

Esto significa que $|u| = 1$ . Con la métrica Minkowsi, esto es: $$ 1 = \gamma^2 - \gamma^2( v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) $$

Esto significa que se viaja menos por el tiempo cuando se viaja por el espacio. Pero como la ecuación es para los cuadrados de las velocidades, se puede tener efectivamente $v_x < 0$ .

Así que el gemelo que está en el viaje puede tener $v_x > 0$ para la primera mitad y luego $v_x < 0$ para la segunda parte y volver a la tierra. Eso no es un problema.

Si se observa un diagrama espacio-temporal de esto, se pueden construir los intervalos de tiempo para cada parte. El observador en la tierra habrá pasado por un par de pasos de tiempo. Si dibujas los planos de simultaneidad del observador en la tierra, verás los intervalos de tiempo para el observador que viaja. Allí se puede ver que los intervalos de tiempo terrestres son mucho más largos para el viajero. Sólo experimentará un poco más de dos de esos intervalos durante su viaje. Por lo tanto, es más joven.

Así, cuando se encuentran de nuevo en un punto del espacio-tiempo, su edad es diferente. Sin embargo, no pueden encontrarse en el punto espacio-temporal donde la Tierra tiene la misma edad que el viajero.