Triángulo $ \ \mathcal{T} \ $ tiene vértices $ \ A \ (0 \ , \ \alpha) \ \ , \ \ B \ (0 \ , \ \alpha + 1) \ \ , \ \ C \ (1 \ , \ \alpha + 1) \ \ , \ \ \alpha \ > \ 0 \ \ , $ con el lado "oblicuo" en la línea $ \ x \ = \ y - \alpha \ \ . \ $ Dado que los coeficientes en el numerador de $ \ f(x,y) \ $ no están restringidos, tendremos que considerar casos al tratar con el valor absoluto en la expresión de la función, sobre lo que se hablará más adelante.
Podemos empezar eliminando los paréntesis de valor absoluto por el momento y considerar la función $ \ g(x,y) \ = \ \large{\frac{ a_1 \ + \ a_2 \ x \ + \ a_3·(y-\alpha) }{\sqrt y}} \ \ . \ $ A lo largo de una línea "horizontal" $ \ y \ = \ Y \ \ , \ \ \alpha \ < \ Y \ < \ \alpha + 1 \ $ de paso $ \ \mathcal{T} \ $ de $ \ (0 \ , \ Y ) \ $ à $ \ (X \ = \ Y - \alpha \ , \ Y) \ \ , \ $ la función es $ \ g(x,Y) \ = \ \large{\frac{ a_1 \ + \ a_2 \ x \ + \ a_3·X }{\sqrt Y}} \ \ . \ $ Así que $ \ g(x,Y) \ $ es sólo un lineal que tiene su valor máximo $ \ g(X,Y) \ = \ \large{\frac{ a_1 \ + \ (a_2 + a_3)·X }{\sqrt Y}} \ $ para $ \ a_2 \ > \ 0 \ $ o $ \ g(0,Y) \ = \ \large{\frac{ a_1 \ + \ a_3·X }{\sqrt Y}} \ $ para $ \ a_2 \ < \ 0 \ \ . $ Esto nos dice que $ \ g(x,y) \ $ no tiene puntos críticos en el interior de $ \ \mathcal{T} \ \ , \ $ lo que significará, cuando "pongamos de nuevo" los paréntesis de valor absoluto, que mientras $ \ f(x,y) \ $ podría tienen un mínimo de cero en el interior (deben $ \ g(x,y) \ $ cambiar de signo), el máximo sólo puede darse en el límite de la región. [Esto también indica la complicación de encontrar el máximo de la función para coeficientes generales].
En los bordes del triángulo, tenemos
- $ \quad \mathbf{AB} : \ \ g(0,y) \ = \ \large{\frac{ (a_1 \ - \ a_3·\alpha) \ + \ a_3·y }{\sqrt y}} \ \ \normalsize{\Rightarrow \ \ g(0,\alpha) \ = \ \large{\frac{ a_1 }{\sqrt \alpha}}} \ \ , \ \ g(0,\alpha + 1) \ = \ \large{\frac{ a_1 \ + \ a_3 }{\sqrt {\alpha \ + \ 1}} \ \ ;} $
- $ \quad \mathbf{BC} : \ \ g(x,\alpha + 1) \ = \ \large{\frac{ (a_1 \ + \ a_3) \ + \ a_2·x }{\sqrt{\alpha \ + \ 1}}} \ \ \normalsize{\Rightarrow \ \ g(0,\alpha + 1) \ = \ \large{\frac{ a_1 \ + \ a_3 }{\sqrt{\alpha \ + \ 1}}}} \ \ , $
$ \quad \quad \quad g(1,\alpha + 1) \ = \ \large{\frac{ a_1 \ + \ a_2 \ + \ a_3 }{\sqrt {\alpha \ + \ 1}} \ \ ;} $
- $ \quad \mathbf{AC} : \ \ g(y - \alpha,y) \ = \ \large{\frac{ (a_1 \ - \ [a_2 + a_3]·\alpha) \ + \ [a_2 + a_3]·y }{\sqrt{y}}} \ \ \normalsize{\Rightarrow \ \ g(0,\alpha) \ = \ \frac{ a_1 }{\sqrt{\alpha }}} \ \ , $
$ \quad \quad \quad g(1,\alpha + 1) \ = \ \large{\frac{ a_1 \ + \ a_2 \ + \ a_3 }{\sqrt {\alpha \ + \ 1}}} \ \ . $
Vemos que $ \ g(x,y) \ $ junto a $ \ BC \ $ es una función lineal, pero puede ser creciente o decreciente dependiendo del signo de $ \ a_2 \ \ , $ como ya se ha mencionado. A lo largo de los lados $ \ AB \ $ y $ \ AC \ \ , \ $ es, en cambio, la suma de un aumento $ \ ( \ c·\sqrt{y} \ ) \ $ y una disminución de $ \ ( \ \frac{C}{\sqrt{y}} \ ) \ $ función de $ \ y \ \ , $ por lo que las contribuciones relativas de estos términos dependen no sólo de los signos sino también de las "magnitudes" relativas de los coeficientes.
La presencia de los paréntesis de valor absoluto en el numerador de la expresión para $ \ f(x,y) \ $ complica aún más esta cuestión si pretendemos saber en que vértice se alcanza el máximo de la función. Para ilustrar esto, elijamos $ \ \alpha \ = \ 4 \ \ . \ $ Incluso limitándonos a $ \ a_1 \ , \ a_2 \ , \ a_3 \ > \ 0 \ \ , $ podemos obtener diferentes relaciones entre los valores de la función en los tres vértices de $ \ \mathcal{T} \ \ . $ En la tabla siguiente, la variación de los coeficientes entre las dos primeras filas cambia $ \ f(0,y) \ $ de una función creciente a una función decreciente de $ \ y \ \ ; \ $ el cambio adicional mostrado en la tercera fila "aplana" la superficie de $ \ f(x,y) \ $ lo suficiente como para que su valor en el vértice $ \ A \ $ se convierte en un poco más grande que en los otros dos vértices.
Cuando permitimos que los coeficientes tomen valores negativos, hay consecuencias adicionales. Teniendo $ \ a_2 \ < \ 0 \ \ , $ como se muestra en la cuarta fila, hará que $ \ g(x,\alpha + 1) \ $ una función decreciente de $ \ x \ $ (como se ha dicho antes); se hace posible que $ \ f(0,\alpha + 1) \ $ para tomar el valor máximo.
En todos los ejemplos hasta ahora, $ \ g(x,y) \ > \ 0 \ $ en $ \ \mathcal{T} \ \ , $ así que $ \ f(x,y) \ $ es idéntico. Las dos últimas filas de la tabla incluyen valores negativos para $ \ a_2 \ $ y $ \ a_3 \ $ que causan $ \ g(x,y) \ $ para ser negativo en una parte de la región. Al tomar el valor absoluto se produce un "pliegue" en la superficie de la función de $ \ f(x,y) \ $ donde tiene el valor mínimo de cero. Un pequeño cambio en los coeficientes puede causar $ \ g(x,y) \ $ para tomar un valor más negativo en un vértice, que luego puede tener el más grande valor absoluto para sus valores de función, convirtiéndose así en el valor máximo de $ \ f(x,y) \ \ . $
![enter image description here]()
valor máximo para cada ejemplo en negrita
Vemos entonces que mientras el resultado dado por Río Li es formalmente correcta, oculta en cierto modo el complicado comportamiento de esta función; al final, sólo resolvemos cuál es el valor máximo insertando los coeficientes en las expresiones de los valores de los vértices. Una catalogación completa de los casos para proporcionar un método directo de encontrar qué valor de vértice es el mayor implicaría desarrollar varias desigualdades de coeficientes.
