Demostración de un lema sobre la cardinalidad de dos conjuntos

Question

Actualmente estoy haciendo los deberes, y para facilitar todos los ejercicios, he decidido demostrar el siguiente lema:

Supongamos que $E$ et $F$ son dos conjuntos finitos y $f$ es una función de $E$ a $F$ . Entonces:

$f$ inyectiva $\implies |E|\le|F|$

$f$ surjective $\implies |E|\ge|F|$

Mi prueba es la siguiente:

Dejemos que $|E|=n$ et $E=\{e_1,...,e_n\}$ y definir $G=\{f(e_1),...,f(e_n)\}$ . Si $f$ es inyectiva, entonces $f(e_1),...,f(e_n)$ son todos diferentes, así que $|G|=n$ . Pero $G$ es un subconjunto de $F$ Por lo tanto $|E|=n=|G|\le|F|$ .

Si $f$ es suryente, entonces $G=F$ . Pero $G$ contiene como máximo $n$ diferentes elementos, por lo que $|E|=n\ge|G|=|F|$ .

¿Esta prueba es lo suficientemente precisa? Tengo algunas dudas al respecto, porque las pruebas de mis colegas son todas bastante tediosas.

Answer 1

Tiene buena pinta, pero para ser precisos, depende de cómo hayas definido tú (o tu profesor) "conjunto finito". Lo siento, déjame aclararlo: la definición común de un conjunto finito es la de uno que puede ponerse en correspondencia uno a uno (biyectiva) con un segmento inicial $\{1,\dotsc,n\}$ de los números naturales $\mathbb N$ que se supone que existe. En términos prácticos, un conjunto $A$ es finito si puedes encontrar un $n\in\mathbb N$ de manera que se pueda "indexar" todo los elementos de $A$ , como $a_i$ , para $1\leq i\leq n$ para que $$a_i=a_j\Leftrightarrow i=j.$$ Por otro lado *por**definición* de $\mathbb N$ dos enteros $m$ et $n$ satisfacen al menos una de las siguientes características $m\leq n$ o $n\leq m$ si y sólo si existe un mapa inyectivo desde $\{1,\dotsc,m\}$ en $\{1,\dotsc,n\}$ o viceversa.

Suponiendo que ahora sepas que la composición de mapas inyectivos es inyectiva y la de mapas suryectivos es suryectiva, entonces tu resultado es totalmente riguroso.