Demostrar que si $|f|$ es integrable gauge entonces también lo es $f$ .

Question

He intentado demostrarlo utilizando el criterio de Cauchy para la integración HK, pero no he tenido éxito hasta ahora. Tengo varios teoremas de fantasía a mi disposición, como el MCT y el DCT, pero no puedo pensar en una forma de demostrar este resultado aparentemente básico. Si alguien conoce una forma de demostrarlo, por favor, hágamelo saber. No necesito una prueba completa, sólo algo que me permita empezar y puedo completar los detalles.

Quizá mi afirmación sea errónea, en cuyo caso basta con un contraejemplo.

Answer 1

Si permitimos la existencia de conjuntos no medibles (y por tanto el axioma de elección) no es cierto. Elige cualquier conjunto no medible $V \subset [0,1]$ y definir $$f = \begin{cases} -1 & x \in V\\ 1 & x\in[0,1]\cap V^c \\ 0 & \textrm{otherwise}\end{cases}$$ Entonces $f$ está acotada y tiene soporte compacto, por lo que la integrabilidad de HK y la integrabilidad de Lebesgue son equivalentes. Evidentemente $\lvert f\rvert$ es integrable, mientras que $f$ no lo es.