En Teoría de la complejidad geométrica la siguiente variedad $\Sigma[\text{det},m]$ es crucial.
Dejemos que $X=(x_1,\ldots,x_r)$ sea una tupla de $r=m^2$ variables, de modo que $X$ puede considerarse como un $m\times m$ matriz variable, identificando $x_i$ con las entradas de $X$ de cualquier manera. Por un determinante simbólico homogéneo de tamaño $m$ en $X=(x_1,\ldots,x_r)$ nos referimos a el determinante de un símbolo $m \times m$ cuya entrada es una función lineal homogénea sobre $K$ de $x_1,\ldots,x_r$ . Sea ${\cal X}$ sea el espacio vectorial sobre $K$ de polinomios homogéneos de grado $m$ en las variables $x_1,\ldots,x_r$ y $P({\cal X})$ el espacio proyectivo asociado a ${\cal X}$ . Sea $\Sigma[\det,m] \subseteq P({\cal X})$ sea el conjunto de todos los puntos de $P({\cal X})$ que corresponden a polinomios homogéneos no nulos en ${\cal X}$ que puede expresarse como homogénea determinantes simbólicos del tamaño $m$ en $X$ . Entonces $\Delta[\det,m] \subseteq P({\cal X})$ es el cierre de Zariski $\overline{\Sigma[\det,m]}$ de $\Sigma[\det,m]$ . Su dimensión es $\le m^4$ .
Mi pregunta: ¿es $\Delta[\det,m]$ ¿suave?
