Define un mapa que lleva una matriz a su inversa. Dar $A\in M(n\times n)$ sobre campo de reales, definir: $$\psi:A\rightarrow A^{-1}$$ ¿Es siempre continua, donde se define? ¿Cómo puedo demostrarlo?
Gracias.
Respuestas
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Se podría argumentar que, según la regla de Cramer, la matriz $A^{-1}$ viene dada por $$\frac{1}{\det A} Adj(A)$$ donde Adj(A) es la matriz adjunta de A. Ahora, cada elemento de Adj(A) es sólo un polinomio de los coeficientes de la matriz A, y por tanto continuo. Análogamente, $\det(A)$ también es un polinomio en los coeficientes de la matriz A. Esto debería ser suficiente para concluir lo que necesitamos.
Leon Katsnelson
Puntos
274
He aquí otro enfoque que no se basa en la regla de Cramer ni en las propiedades del determinante.
Si $\|\cdot\|$ satisface $\|AB\| \le \|A \| \|B\|$ , entonces si $\|X\| < 1$ tenemos $(I+X)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^kX^k$ .
Así que tenemos $(A+H)^{-1} = (A(I+A^{-1}H))^{-1} = (I+A^{-1}H)^{-1} A^{-1}$ . Utilizando la identidad anterior, y suponiendo que $\|H\| < \frac{1}{\|A^{-1} \|}$ (que implemente $\|A^{-1}H\| < 1$ ), tenemos $(A+H)^{-1} = (\sum_{k=0}^\infty (-1)^k (A^{-1}H)^k) A^{-1}$ . Por lo tanto, tenemos \begin{eqnarray} \|A^{-1} - (A+H)^{-1} \| &\le& \sum_{k=1}^\infty \|H\|^k \|A^{-1}\|^{k+1} \\ &=& \|H\| \|A^{-1}\|^{2} \sum_{k=1}^\infty (\|H\| \|A^{-1}\|)^{k-1} \\ &\le& \|H\| \frac{\|A^{-1}\|^{2}}{1-\|H\| \|A^{-1}\| } \end{eqnarray} Si asumimos $\|H\| < \frac{1}{2\|A^{-1} \|}$ la estimación anterior se simplifica a $\|A^{-1} - (A+H)^{-1} \| \le 2 \|A^{-1}\|^{2} \|H\|$ de lo que se deduce que el operador $A \mapsto A^{-1}$ es continua.
Lo anterior demuestra que, de hecho, el operador $A \mapsto A^{-1}$ es suave.
