¿Sobre qué tipo de objetos actúan los grupos de Galois?

Question

No soy ni teórico de los números ni geómetra algebraico. Me pregunto si los grupos de Galois de campos numéricos (digamos el grupo de Galois absoluto grupo $Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ ) actúan sobre objetos que no están relacionados a priori con la teoría de los números.

Conozco dos situaciones de este tipo de naturaleza bastante diferente:

(1) Los dessins d'enfants de Grothendieck: $Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ actúa sobre ciertos gráficos (con propiedades y datos adicionales) en superficies bidimensionales.

(2) $Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ actúa sobre el profinito de la terminación topológica $K$ -teoría (de lo suficientemente agradable espacios, por ejemplo, finitos $CW$ -complejos).

Por lo que tengo entendido (¿me equivoco?) los ejemplos más importantes y mejor estudiados ejemplos estudiados de acciones de grupos de Galois son las acciones sobre $l$ -adic cohomología de variedades sobre campos numéricos. Pero esto no es lo que campos numéricos aparecen en la formulación del problema desde el principio. problema desde el principio.

Answer 1

Hay algunos buenos ejemplos en la teoría de nudos y en el álgebra cuántica.

Si $X$ es una variedad algebraica sobre $\mathbb{Q}$ hay una acción exterior canónica $G_{\mathbb{Q}} \rightarrow Out(\hat{\pi}_1(X(\mathbb{C})))$ (que también existe para otros campos que $\mathbb{Q}$ utilizando el llamado grupo fundamental algebraico, pero no quiero decir nada malo al respecto). A grandes rasgos, esto se debe a que el recubrimiento finito de $X$ puede definirse sobre $\bar{\mathbb{Q}}$ junto con la relación entre el recubrimiento finito (regular) y los cocientes finitos del grupo fundamental. Esta acción tiene, pues, el mismo origen que la del dessin d'enfants.

Resulta especialmente interesante el estudio de esta acción en el caso $X$ es el espacio de moduli de las curvas algebraicas de género $g$ con $n$ puntos marcados. Esto fue sugerido en el esquisse de Grothendieck, y conduce a la llamada teoría de Grothendieck-Teichmuller que da una descripción bastante explícita de un grupo que realmente contiene $G_{\mathbb{Q}}$ . (ver Grupo cartográfico y conexión plana de cuerdas o ¿Cuál es un buen lugar para empezar a aprender sobre el grupo de Grothendieck-Teichmuller? )

En realidad, hay varios sabores del grupo Grothendieck-Teichmuller: uno profinito $\widehat{GT}$ que sí contiene $G_{\mathbb{Q}}$ y un grupo $GT(k)$ definido para cada campo $k$ . Un resultado profundo de Drinfeld afirma que este último grupo es en cierto sentido un grupo de automorfismo universal de las categorías monoidales trenzadas. En efecto, actúa sobre el conjunto de asociados de Drinfeld con coeficientes en $k$ .

Ahora, también hay un morfismo

$G_{\mathbb{Q}}\rightarrow GT(\mathbb{Q}_{\ell})$

para cada número primo $\ell$ . Por lo tanto, el grupo galois absoluto actúa sobre cada tipo de objeto en el que surgen los asociadores (suponiendo que se encuentre en una situación en la que se pueda trabajar sobre $\mathbb{Q}_{\ell}$ ). Creo que lleva a ejemplos bastante sorprendentes, como la acción sobre invariantes de tipo finito de nudos y enlaces, sobre el functor de cuantificación de las bialgebras de Lie, y varias otras construcciones que surgen en la teoría de la deformación/cuantificación, ya que a menudo están relacionadas con los asociados de Drinfeld.

Answer 2

El trabajo de Dennis Sullivan (ver su discurso de la MCI de 1970 para un resumen) es una verdadera fuente de tales acciones de Galois inesperadas.

Answer 3

Esto no es exactamente una encarnación de la pregunta que has formulado, en el sentido de que no es tanto una acción de un grupo de Galois como una acción cuya existencia está regida por un grupo de Galois de origen teórico-numérico, pero parece que puede ser de interés.

Dejemos que $K$ sea un campo numérico, y sea $K^{(1)}$ sea la máxima extensión abeliana no ramificada de $K$ . El grupo de Galois de $K^{(1)}/K$ es un subcociente de Gal $(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ ) que es isomorfo al grupo de clase de $K$ . Tenga en cuenta que por la respuesta de Minhyong Kim aquí podemos caracterizar este subcociente de forma puramente galois-teórica. Varios autores han descubierto vínculos sorprendentes entre la aritmética de los campos numéricos y las acciones de los grupos sobre las esferas. En particular, cuando $K$ es el campo ciclotómico real $K_m=\mathbb{Q}(\zeta_m+\zeta_m^{-1})$ el grupo de clase parece gobernar las acciones libres de los grupos diedros binarios sobre esferas $S^n$ con $n\equiv 3\pmod{4}$ . Permítanme citar/parafrasear libremente el libro de Lang "Units and Class Groups in Number Theory and Algebraic Geometry" (las negritas son mías):

C. T. C. Wall ya ha demostrado que depende en parte de la componente 2-primario del grupo de clase ideal en campos ciclotómicos reales $K_m^+$ para que sea adecuado $m$ ...Utilizando los antecedentes algebraicos de un trabajo de Wall, aplicado a la secuencia exacta de la cirugía, Thomas da ejemplos para el grupo diédrico binario $D_{4p}$ de orden $4p$ operando libremente en $S^{4k-1}$ con $k\geq 2$ , cuando el orden de $[(K_p^+)^{( 1)}:K_p^+]$ es impar.

...
Además, según Thomas, existen acciones libres por $D_{4p}$ que se pueden distinguir topológicamente sólo por un invariante en la parte 2-primaria del grupo de clase ideal de $K_p^+$ .

Tal vez sea innecesario decir que el estudio de estos títulos $[(K_p^+)^{( 1)}:K_p^+]$ incluso su 2 parte, es de enorme interés en la teoría algebraica de los números (conjetura de Vandiver, etc.), por lo que el vínculo con las acciones sobre esferas es sorprendente.