Demostrar que $U \subset S$ abierto en S $\iff$ existe un conjunto abierto $U'$ en $X$ tal que $U=U' \cap S $

Question

Sea X un espacio métrico y sea $S\subset X$

Quiero demostrar que $U \subset S$ abierto en S $\iff$ existe un conjunto abierto $U'$ en $X$ tal que $U=U' \cap S $

He aquí un poco de mi razonamiento:

Para $\implies$

• $U$ está abierto en $S$ simplemente tenemos que poner $U = U'$ y $U = U'\cap S$

Para $\Longleftarrow$

Si existe un conjunto abierto $U'$ en $X$ tal que $U=U'\cap S$ entonces, o bien:

• Si S es cerrado, entonces $U' \neq S$ pero como U es un subconjunto abierto de , $U' \subset S$ también es abierto en S. Simplemente tenemos $U = U'$
• Si S es abierto, simplemente tenemos $U' = S$ por lo tanto $U = U'\cap S$ está abierto

He aquí una imagen que puede ayudarle a visualizar la situación

Mi razonamiento no es demasiado riguroso, ¿podría alguien ayudarme a mejorarlo?

Answer 1

Dejemos que $B_\epsilon(x,S)$ denotan la bola abierta centrada en $x$ con radio $\epsilon$ con respecto a la topología en $S$ y definir $B_\epsilon(x, X)$ análogamente.

( $\Rightarrow$ ) Si $U \subseteq S$ es abierto, entonces para todo $x \in S$ existe $\epsilon>0$ con $B_\epsilon(x, S) \subseteq U$ . Tenga en cuenta que $B_\epsilon(x,S)=B_\epsilon(x, X) \cap S$ . Entonces $U= (\bigcup_{x \in S} B_\epsilon(x,X))\cap S$ . El conjunto a la izquierda de la intersección es abierto en $X$ por definición.

( $\Leftarrow$ ) Supongamos ahora que $U \subseteq S$ , $U= U' \cap S$ para algunos abiertos $U' \subseteq X$ . Entonces, para todos los $x \in U$ existe $\epsilon>0$ tal que $B_\epsilon(x, X) \subseteq U'$ . Entonces $B_\epsilon(x,S)= B_\epsilon(x,X) \cap S \subseteq U$ es decir, desde $x$ era arbitraria, $U$ está abierto en $S$ .

Answer 2

$U\subset S \implies U \subset X$

También, $U$ abrir en $S$ implica que existe un $V \subset X$ tal que $V$ está abierto en $X$ y $U=V\cap S$ (por definición, poniendo la topología del subespacio en $S$ ).

A la inversa, que haya $U'\subset X$ tal que $U=U'\cap S$ con $U'$ abrir en $X$ . Entonces, evidentemente, por la topología del subespacio inducido en $S$ por $X$ tenemos $U$ que se abra en $S$ . Así que hemos terminado.