Para complementar la respuesta de Luboš Motl, abordaré este problema desde el punto de vista de la ciencia de los materiales.
Lo que quieres decir con la propiedad inherente de la cuerda no es la constante de resorte, de hecho, es el módulo de Young $E$ que sólo depende de las propiedades del material de un cuerpo, pero no de su forma.
$$ E = \frac{\text{tensile stress}}{\text{tensile strain}} = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{\text{force per area}}{\text{extension per length}} = \frac{F / A}{x / l} = \frac{F l }{x A} $$
Ahora utiliza esta definición para construir la Ley de Hooke: $$ F = \frac{EA}{l} x = k x $$ donde vemos que $$ k = \frac{EA}{l} $$
Ahora consideremos lo que ocurre cuando dividimos el muelle. Sólo cambiamos la longitud del muelle, manteniendo A (la misma área de la sección transversal) y E (el mismo muelle, el mismo material). Cuando hacemos el muelle cuatro veces más corto tenemos esencialmente lo siguiente:
$$ k_\text{old} = \frac{EA}{l_\text{old}} = \frac{EA}{4 l_\text{new}} = \frac{1}{4} \frac{EA}{l_\text{new}} = \frac{1}{4} k_\text{new} $$
Obsérvese que esto supone una configuración similar a la de una banda elástica, en la que suponemos que el muelle puede ser modelado por una barra uniforme de material elástico. Una prueba más rigurosa de la dependencia de la constante del muelle y la longitud del muelle implicaría la geometría del muelle y varios pares de torsión en los elementos del muelle cuando está bajo carga. Sin embargo, toda esta complicación sólo aporta factores previos adicionales a la constante del muelle, que son independientes de la longitud del muelle.
Una derivación heurística de la relación módulo de Young-fuerza
Pensé que podría hablar de por qué $E$ es siempre constante para algún tipo de material. Todas las uniones entre átomos pueden pensarse como pequeños resortes que obedecen a la ley de Hooke en caso de pequeños desplazamientos.
Debido a la conservación de la energía ya sabemos (la respuesta de Luboš Motl), que si conectamos varios muelles, entonces cambiaremos la constante efectiva del muelle: $$ k_\text{new} = k / n $$ donde $n$ es el número de los muelles y $k$ es la constante de resorte del enlace simple.
Por lo tanto, para una misma extensión, la fuerza escala con la longitud del muelle de la siguiente manera: $$ F = \frac{k x}{n} = k\frac{l_\text{unit}}{l}x = kxl_\text{unit} \times \frac{1}{l} = \text{const.} \times \frac{x}{l} $$
Ahora, ¿qué pasa con la conexión de las cuerdas en paralelo? A partir del argumento de la conservación de la energía, sabemos que la constante efectiva del muelle cambiará entonces de forma diferente: $$ k_\text{new} = kn $$ donde $n$ ahora estará relacionado con la superficie del material.
Ahora, la fuerza para la misma extensión escala como: $$ F = knx = k\rho x \times A = \text{const.} \times Ax $$ donde $\rho$ es la densidad de los muelles.
Sólo hay dos formas de combinar las cuerdas (en paralelo o en serie), por lo que la fórmula global de la fuerza debe ser de la forma siguiente:
$$ F = E \times \frac{A}{l} x $$
Y podemos llamar a esa constante desconocida $E$ el módulo de Young, que sabemos que será específico del material (es decir, la naturaleza de esos enlaces químicos). Además, gracias a nuestro análisis anterior, sabemos que para un material determinado la cantidad desconocida restante $E$ será independiente del área de la sección transversal, la longitud o la extensión del muelle.
Así que con un pensamiento muy simple y algunos conocimientos básicos de la conservación de la energía, podríamos recuperar la ley que supuse en mi primera parte de la explicación.
EDITAR : Me he dado cuenta de que había algunos errores en la segunda parte de mi explicación, de ahí que la haya revisado por completo. Además, espero haber aclarado la primera parte de la explicación.
