Encuentra la matriz triangular y el determinante.

Question

Tengo una matriz de 4x4 y quiero encontrar la matriz triangular (las entradas de la mitad inferior son cero).

$$A= \begin{bmatrix} 2 & -8 & 6 & 8\\ 3 & -9 & 5 & 10\\ -3 & 0 & 1 & -2\\ 1 & -4 & 0 & 6 \end{bmatrix} $$

Aquí están las operaciones de fila elementales que realicé para ponerlo en forma triangular.

intercambio de filas 1 y 4

$r_2 - 3\cdot r_1$ sustituyendo a $r_2$

$r_3 + 3\cdot r_1$ sustituyendo a $r_3$

$r_4 - 2\cdot r_1$ sustituyendo a $r_4$

Obtengo esta matriz

$$A= - \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 6\\ 0 & 3 & 5 & -8\\ 0 & -12 & 1 & 16\\ 0 & 0 & 6 & -4 \end{bmatrix} $$

Entonces hice $4\cdot r_2 + r_3$ para sustituir $r_3$ y consiguió

$$A= - \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 6\\ 0 & 3 & 5 & -8\\ 0 & 0 & 21 & -16\\ 0 & 0 & 6 & -4 \end{bmatrix} $$

Entonces hice $-21\cdot r_4 + 6\cdot r_3$ para sustituir $r_4$ y consiguió

$$A= - \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 6\\ 0 & 3 & 5 & -8\\ 0 & 0 & 21 & -16\\ 0 & 0 & 0 & -12 \end{bmatrix} $$

No estoy seguro de haberlo hecho correctamente, pero el determinante de la matriz debería ser -36. Cuando multiplico las entradas diagonales no es -36. No puedo averiguar qué estoy haciendo mal.

Answer 1

"Luego hice -21*fila 4 + 6*fila 3 para reemplazar la fila 4 y obtuve"

Esta es una operación de alteración de determinantes y no una operación elemental.

No escribas eso $A$ equivale a algo que no es $A$ .

Retomando donde te equivocaste y usando la misma idea que tuviste se consigue:

$$\begin{align} \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 6\\ 0 & 3 & 5 & -8\\ 0 & 0 & 21 & -16\\ 0 & 0 & 6 & -4 \end{bmatrix}&\leadsto \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 6\\ 0 & 3 & 5 & -8\\ 0 & 0 & 6\cdot 21 & -6\cdot 16\\ 0 & 0 & -21\cdot 6 & (-21)\cdot (-4) \end{bmatrix}\\ &\leadsto \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 6\\ 0 & 3 & 5 & -8\\ 0 & 0 & 6\cdot 21 & -16\\ 0 & 0 & 0 & -12 \end{bmatrix}_.\end{align}$$

Hacer los rendimientos de compensación adecuados $$\det(A)=-\dfrac{1\cdot 3\cdot (6\cdot 21)\cdot (-12)}{-21\cdot 6}=-36.$$

Answer 2

"Entonces hice 21r4+6r3 para reemplazar r4 y obtuve"..

Siempre que hagamos operaciones de Fila en una fila concreta, cualquiera de los coeficientes que estemos multiplicando en la misma fila debe tomarse como divisor con signo fuera del determinante. Por ejemplo, Tienes una matriz A y su determinante es |A|

Si hacemos la siguiente operación, R3 -> 3 R2 - 5R3 La operación se procesa tomando (-1/5) fuera. El concepto es que estamos multiplicando indirectamente la fila 3 por (-5) a través de esta operación. No tenemos que preocuparnos por el multiplicador 3 con R2, ya que no afectará al valor del determinante (estamos alterando la Fila 3, por lo tanto los coeficientes de las Filas restantes no afectarán a |A|).

En tu caso, hasta el paso final, las operaciones de Fila no tenían coeficientes para las alteraciones particulares de Fila. En el paso final sí los tenía,
R4 -> -21 R4 + 6 R3 Por lo tanto, debe tomar (-1/21) fuera. Después de tomar fuera, el cálculo del determinante será como:

|A| = - (-1/21) (1) (3) (21) (-12) = -36