Encontrar P + Q + R?

Question

Me estaba haciendo preguntas desde el año anterior examen de papel y yo estoy atrapado en esta pregunta.

Parece fácil pero no estoy recibiendo el punto desde donde debo empezar.

Supongamos $P, Q, R$ son enteros positivos, Tal que $PQR + PQ + QR + RP + P + Q + R = 1000.$ encontrar $P + Q + R ?$

Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que

$(1 + P) (1 + Q) (1 + R) = 1 + P + Q + R$ $+ PQ+ PR + QR + PQR = 1 + 1000 = 1001, \tag{1}$

por la hipótesis en $P$, $Q$, $R$; también,

$1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13, \tag{2}$

todos los números primos; por lo tanto podemos tomar

$P = 6; \;\; R = 10; \;\; Q = 12, \tag{3}$

o alguna permutación de los mismos; en cualquier caso, hemos

$P + Q + R = 28. \tag{4}$

Answer 2

Si se permite un poco de $p,q,r$$0$, también te $$p+q+r=1000$$ $$p+q+r=88$$ $$p+q+r=100$$ $$p+q+r=148$$

para $$p=1000,q=0,r=0$$ $$p=76,q=12,r=0$$ $$p=90,q=10,r=0$$ $$p=142,q=6,r=0$$

respectivamente, o cualquier permutación de los mismos.