Distribución de Poisson

Question

Supongamos que el número de episodios por año de una enfermedad sigue la distribución de Poisson con el parámetro $u=1.6$ por año.

1) ¿Cuál es la probabilidad de que dos hermanos tengan ambos tres o más episodios de enfermedad en los dos primeros años de vida?

ans: $u=1.6^2\text{ (times 2 because 2 year)}=3.2$ Así que $P(X\ge3) \cdot P(X\ge3) = [1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)]^2$ aplicando $u=3.2$

2) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente un hermano tenga tres o más episodios de la enfermedad en los dos primeros años de vida?

ans: $u=1.6^2\text{ (times 2 because 2 year)}=3.2$ Así que $P(X\ge3)= 1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)$ aplicando $u=3.2$

3) ¿Cuál es el número esperado de hermanos, en una familia de dos hermanos, que tendrán tres o más episodios en los dos primeros años de vida?

¿Puede alguien ayudarme a resolver la pregunta 3? ¿Ayudarme a comprobar si las preguntas 1 y 2 son correctas?

Gracias.

Answer 1

Tu primera respuesta parece correcta, excepto que has escrito $1.6^2$ donde supongo que querías decir $1.6\cdot2$ . Se puede reducir todo a un número real al darse cuenta de que $P(X=0) = e^{-3.2}$ , $P(X=1)=3.2e^{-3.2}$ y $P(X=2)=3.2^2 e^{-3.2}/2$ .

Su segunda respuesta es errónea. Lo que necesitas es la probabilidad de que el primer hermano tenga al menos tres episodios de este tipo y el segundo no o el segundo sí y el primero no.

Para la tercera pregunta, necesita las respuestas a las dos primeras preguntas y también la probabilidad de que ninguno de los dos hermanos tenga tres o más episodios de este tipo. Entonces, el número esperado de hermanos que tienen tres o más episodios de este tipo es $$ \begin{align} & \phantom{.}\qquad 0\cdot P(\text{neither sibling has three or more episodes}) \\ & {}\ {} + 1\cdot P(\text{exactly one sibling has three or more episodes}) \\ & {}\ {}+ 2\cdot P(\text{both siblings have three or more episodes}). \end{align} $$