Encontrar el error en una prueba incorrecta

Question

Declaración: Si $a$ , $b$ y $b'$ son números enteros y $a>b>b'>0$ , entonces el resto cuando $a$ se divide por $b$ es menor que el resto cuando a se divide por $b'$ .

Prueba: Supongamos que $a,b, b'$ son números enteros y $a>b>b'>0$ . Por el Algoritmo de la División, el resto cuando $a$ se divide por $b$ es el único número entero $r$ tal que $a=bq+r$ y $0 \le r<b$ . Por lo tanto, $b q=a-r$ y como $r<b, b<a$ entonces $r<a$ . Es decir, $a-r>0$ . Desde $b>0$ Así que $q>0$ . A continuación, utilizamos el Algoritmo de División (DA) entonces tenemos $a=b'q+r'$ donde $0 \le r<b'$ . Igualando las dos expresiones para $a$ da $bq+r=b'q+r'$ . Esto se puede reajustar para dar $q(b-b')=r'-r$ . Finalmente $b-b'>0$ y $q>0$ así que $r'-r>0$ . Es decir $r'>r$ .

Sin embargo, me dicen que es una prueba errónea y no estoy seguro de dónde está el error fundamental en el argumento. Pensé que podría tener que ver con la suposición de que $b-b'>0$ y $r'-r>0$ ya que también podría ser negativo. Pero no estoy seguro de que eso sea correcto. ¿Puede alguien ayudar, por favor? Gracias de antemano

Answer 1

Usted está asumiendo que $q$ es el mismo en ambos casos. Y el resultado que se afirma es evidentemente erróneo, considere por ejemplo $a = 12$ , $b = 5$ , $b' = 3 < b$ con $r = 2$ y $r' = 0$ .

Answer 2

Sugerencia: es posible que las respuestas dadas hasta ahora no hayan dejado claro que la afirmación que intentas demostrar es falsa. Para ver en qué punto se rompe tu prueba, sólo tienes que trabajar con $a = 3$ , $b = 2$ y $b' = 1$ (o cualquier otro contraejemplo de la falsa afirmación que intentas demostrar).