subgrupos (normales) de distinto orden de un grupo de orden $20.$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $20$ en la que las clases de conjugación tienen tamaños $1$ , $4$ , $5$ , $5$ , $5$ . A continuación, indique si es verdadero o falso

A) " $G$ contiene un subgrupo normal de orden $4$ ".

Se supone que la respuesta es falsa. Pero yo no lo creo. Dado que una de las clases de conjugación es de tamaño $5$ Asumo que algún elemento tiene un centralizador de orden $4$ . Desde $$|cl(a)|= \frac{|G|}{|C(a)|} \ ,|cl(a)|=size \ of \ conjugacy \ class \ of \ a,\ |G|=order\ of \ group, \\|C(a)|=\ order \ of \ centralizer \ of \ a.$$

Y como el centralizador es un subgrupo normal ¿no se supone que el grupo tiene un subgrupo normal de orden $4$ .

B) " $G$ contiene un subgrupo de orden $10$ ."

Se supone que esto es cierto. ¿Puede alguien dar una razón de por qué?

Answer 1

Tenemos un grupo $G$ cuya ecuación de clase es $1+4+5+5+5=20$ .

(A) Todo subgrupo normal es una unión disjunta de clases de conjugación. Cada subgrupo normal contiene la clase de conjugación de orden $1$ ya que contiene la identidad. Un subgrupo normal no trivial debe contener al menos otra clase de conjugación. Las otras clases de conjugación tienen tamaños $4$ , $5$ , $5$ , $5$ . Por lo tanto, el orden de un subgrupo normal no trivial debe ser al menos $5$ .

(B) Obsérvese que un grupo de orden $20$ tiene un único Sylow- $5$ subgrupo $N$ . También hay que tener en cuenta que un grupo de orden $20$ debe tener un elemento $x$ de orden $2$ . Sea $H$ sea el subgrupo generado por $x$ . Tenga en cuenta que $HN$ es un subgrupo de $G$ ya que $N$ es normal en $G$ y $HN$ es el orden $10$ ya que $H$ y $N$ se cruzan trivialmente.

Answer 2

El centralizador es normal en el normalizador, pero no necesita ser normal en $G$ .