Extremos en los que la restricción no es tangente a la curva de nivel

Question

En un curso de cálculo de nuestra universidad los alumnos aprenden a calcular puntos estacionarios de funciones $f$ en las restricciones. Para la condición necesaria $\nabla \mathcal{L} = 0$ (donde $\mathcal{L}$ es la función de Lagrange del sistema), obtienen la explicación intuitiva de que en un punto extremo local la restricción $g(x, y) = 0$ y la correspondiente curva de nivel de $f$ tienen que ser tangentes, lo que lleva a la conocida ecuación $\nabla {f} = \lambda \nabla g$ .

Así que hace poco se miró a $f(x, y) = xy^2$ en el círculo unitario $x^2 + y^2 = 1$ . Con la condición necesaria, se calculan fácilmente los puntos estacionarios

$$(\pm 1, 0), \quad (\pm 1 / \sqrt{3}, \pm \sqrt{2/3}).$$

Entonces se visualiza la situación y se identifica el tipo de punto (punto extremo o punto de silla). Esto se muestra en la siguiente imagen. Un alumno de este curso me preguntó ahora "Pero en los puntos $(\pm 1, 0)$ (Nótese que en la imagen se ven muy bien las líneas de nivel tangentes al círculo en los cuatro últimos puntos).

Después de pensarlo un poco, no pude darle una respuesta satisfactoria. Las líneas de nivel correspondientes al $0$ -nivel son $x = 0$ y $y = 0$ . La línea $x = 0$ sería tangente a la circunferencia, si la ponemos una unidad a la derecha (respectiva a la izquierda), pero no podemos hacer esto.

Mi idea es, que el problema tal vez viene del hecho de que $x^2 + y^2 - 1$ no define una función implícita en $(\pm 1, 0)$ por el teorema de la función implícita. Al buscar en mis notas, encontré además que $\nabla g(x, y) \neq 0$ debe cumplirse para que se aplique la condición necesaria, pero este debería ser el caso. No obstante, $(1, 0)$ es un mínimo local y $(- 1, 0)$ es un máximo local.

Así que mis preguntas son:

• ¿Estoy en lo cierto con mi idea sobre el problema? Si no es así, ¿qué está pasando aquí?
• ¿Existe la posibilidad de explicar la situación geométricamente?

Answer 1

La intuición "ambas curvas de nivel deben ser tangentes entre sí" falla para el caso en que $\nabla f(p) = 0$ , donde $f$ es la función que se quiere estudiar bajo la restricción $g^{-1}(c)$ . Esto se debe a algunos hechos; en primer lugar, $f^{-1}(c')$ puede que ni siquiera sea un "bonito" conjunto de niveles cerca de $p$ . (es decir, puede que no sea un colector, o que no tenga la dimensión correcta, etc.) Pero exploremos más a fondo lo que ocurre exactamente.

Recordemos una de las pruebas de que si $p$ es un punto de max/min de $f|_{g^{-1}(c)}$ (y $\nabla g(p) \neq 0$ ), entonces $\nabla f(p) = \lambda \nabla g(p)$ para algunos $\lambda$ y ver lo que está sucediendo.

Para ello, elige una curva $\gamma$ de paso $p$ en el momento $0$ y que está contenida en $g^{-1}(c)$ . Desde $p$ es un máximo (wlog), tenemos que $(f \circ \gamma)'(0)=0$ . Por la regla de la cadena, esto nos dice que $\langle \nabla f(p), \gamma'(0)\rangle=0$ . Dado que esto es válido para una curva arbitraria en $g^{-1}(c)$ tenemos que $\nabla f(p)$ es ortogonal al espacio tangente de $g^{-1}(c)$ . Pero también sabemos que $\nabla g(p)$ es ortogonal al mismo espacio, por lo que $\nabla f(p)$ está en la misma línea de $\nabla g(p)$ y por lo tanto es un múltiplo escalar de ella. Puede muy bien ser cero. Obsérvese que lo que sabemos sobre $\nabla f(p)$ es que es ortogonal al espacio tangente del conjunto de niveles de $g$ .

En el caso de que $\nabla f(p)$ no es cero, entonces tenemos un conjunto de niveles suaves bien definidos para $f$ que tiene $\nabla f(p)$ como un vector ortogonal a su espacio tangente en $p$ . Entonces tenemos dos conjuntos de niveles suaves que son "tangentes", lo que significa que se cruzan y tienen el mismo espacio tangente. Pero esto es a posteriori basándose en el hecho de que un $n-1$ -planea en $\mathbb{R}^n$ está determinada unívocamente por la línea que es ortogonal a ella y ambos $\nabla f(p)$ y $\nabla g(p)$ están determinando la misma línea.

En resumen: cuando hacemos $\nabla f = \lambda \nabla g$ En realidad estamos buscando los puntos en los que $\nabla f$ es ortogonal al espacio tangente de $g^{-1}(c)$ ya que esos son los candidatos a nuestros mínimos/máximos. (Suponiendo, por supuesto, que no haya condiciones de "frontera" en nuestra restricción.) Si se da el caso de que $\nabla f$ es distinto de cero en dicho punto, sólo entonces podemos garantizar que las dos curvas de nivel son tangentes allí.