Encontrar una base de un espacio vectorial complejo sobre $\Bbb R$ dada una base sobre $\Bbb C$

Question

Supongamos que $X$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb C$ y tiene como base $\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ . Ahora mira $X$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ .

¿Cuál será la base?

Mis pensamientos:

Consideré $\mathbb C$ en $\mathbb C$ y $\mathbb C$ en $\mathbb R$ En el primer caso tenemos $(1,0)$ como base y en este último caso tenemos $\{(1,0),(0,1)\}$ como base, es decir $\{(1,0),(0,1)(1,0)=(0,1)\}$ como base.

Así que puede que la respuesta sea $\{e_1,e_2,\ldots,e_n,ie_1,\ldots,ie_n\}$ . ¿Cómo justificar el resultado si es cierto?

Answer 1

Supongamos que $x\in X$ . Entonces $x = c_1 e_1 + \cdots+c_n e_n$ para algunos números complejos $c_1,\ldots,c_n$ .

Para $k=1,\ldots,n$ escribir $c_k = a_k + i b_k$ donde $a_k$ y $b_k$ son real .

Entonces $$\begin{align} x & = c_1 e_1 + \cdots+c_n e_n \\[8pt] & = (a_1+ib_1)e_1 + \cdots + (a_n+ib_n)e_n \\[8pt] & = a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n + b_1(ie_1) + \cdots + b_n (ie_n). \end{align}$$ Así que $x$ es una combinación lineal de $e_x,\ldots,e_n,ie_1,\ldots,ie_n$ con coeficientes que son real .

La independencia lineal se puede demostrar considerando casi la misma secuencia de igualdades: $$\begin{align} 0 & = a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n + b_1(ie_1) + \cdots + b_n (ie_n) \tag 1 \\[8pt] & = (a_1+ib_1)e_1 + \cdots + (a_n+ib_n)e_n \\[8pt] & = c_1 e_1 + \cdots+c_n e_n \end{align}$$ y eso sólo puede ser cierto si $c_1=\cdots=c_n=0$ por la independencia lineal de $e_1,\ldots,e_n$ en $\mathbb C$ . Por lo tanto, $(1)$ sólo puede ser verdadera si $a_1=\cdots=a_n=b_1=\cdots=b_n=0$ .

Answer 2

En el caso de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$ la base sería $\{1\}$ porque cada elemento de $\mathbb{C}$ puede escribirse como $\mathbb{C}$ -múltiple de $1$ .

$$\mathbb{C}=\{z\times 1 : z \in \mathbb{C}\}$$

En el caso de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{R}$ la base sería $\{1,\mathrm{i}\}$ porque cada elemento de $\mathbb{C}$ puede escribirse como un $\mathbb{R}$ -múltiple de $1$ y $\mathrm{i}$ .

$$\mathbb{C}=\{x\times 1 + y \times \mathrm{i} : x,y \in \mathbb{R}\}$$

Si $\{{\bf v}_1,\ldots,{\bf v}_n\}$ es una base para $V$ en $\mathbb{C}$ entonces $$V = \{a_1{\bf v}_1+\cdots+a_n{\bf v}_n: a_k \in \mathbb{C} \}$$

Podemos escribir cada uno de los $a_k$ como $b_k+\mathrm{i}c_k$ , donde $b_k,c_k \in \mathbb{R}$ . Por lo tanto, $$\begin{eqnarray*} a_1{\bf v}_1+\cdots+a_n{\bf v}_n &=& (b_1+\mathrm{i}c_1){\bf v}_1+\cdots+(b_n+\mathrm{i}\mathrm{c}_n){\bf v}_n \\ &=& b_1{\bf v}_1+\cdots+b_n{\bf v}_n+c_1(\mathrm{i}{\bf v}_1)+\cdots+c_n(\mathrm{i}{\bf v}_n) \end{eqnarray*}$$

Podemos tomar $\{{\bf v}_1,\ldots,{\bf v}_n,\mathrm{i}{\bf v}_1,\ldots,\mathrm{i}{\bf v}_n\}$ como base para $V$ .

El último paso es demostrar que

$$V = \mathbb{R}\langle {\bf v}_1,\ldots,{\bf v}_n\rangle \oplus \mathbb{R}\langle \mathrm{i}{\bf v}_1,\ldots,\mathrm{i}{\bf v}_n\rangle$$

Esto es obvio ya que $\mathbb{i} \notin \mathbb{R}$ .