La rotación de la invariante de tensores

Question

Muchas veces se dice que la única tensores invariantes bajo las transformaciones ortogonales (rotaciones) son la delta de Kronecker $\delta_{ij}$, la de Levi-Civita epsilon $\epsilon_{ijk}$, y diversas combinaciones de sus tensor de productos. Mientras que es fácil comprobar que $\delta_{ij}$ $\epsilon_{ijk}$ son de hecho invariante bajo rotaciones, me gustaría saber si existe alguna prueba por la construcción que ellos son la única (irreductible) tensores con esta propiedad.

Answer 1

Esto es algo tarde en el día / año, pero sospecho que el autor está preguntando acerca de las representaciones de isotrópica tensores Cartesianos, donde "isótropo" significa "invariantes bajo la acción de una adecuada ortogonal transformaciones" y "Cartesiano" significa que el subyacente espacio es Euclidiano $R^n$ ($R^3$ es un caso de gran interés práctico).

Las pruebas para los dos casos, pidió aquí no son triviales, y que en

Weyl, H., El Clásico De Los Grupos, Princeton University Press, 1939

Construcciones de orden superior isotrópica Cartesiano tensores, también son de allí.

Answer 2

Harold Jeffreys (1973). En isotrópica tensores. Matemática Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, 73, pp 173 a 176.

La prueba se da es mucho más concreto y "manos" de Weyl de la prueba vinculada por user_of_math.

Answer 3

$\mathtt{Definition:}$ $T$ es una isotrópica tensor de tipo $(0,n)$ si $\;T_{i_1i_2...i_n}=R_{i_1j_1}R_{i_2j_2}...R_{i_nj_n}T_{j_1j_2...j_n}$ siempre $R$ es una matriz ortogonal yo.e $R^TR=RR^T=I$.

$\mathtt{n=2:}$Ver mi respuesta aquí.

$\mathtt{n=3:}$Para los tensores de tipo $(0,3)$ que puede imitar a la prueba de $n=2$ a deducir skew-symmetricness. Supongamos $T_{pqr}$ es un tensor isótropo. Deje $R$ ser una matriz diagonal cuya diagonal entradas se $1$ a excepción de $R_{ii}$ y $R_{ii}=-1$. $R$ es diagonal y su propio inverso, por tanto, es ortogonal. $$T_{ijj}=\sum_{p,q,r}R_{ip}R_{jq}R_{kj}T_{pqr}=R_{ii}R_{jj}R_{jj}T_{ijj}\text{( usando el hecho de que R es la diagonal)}\\ \Rightarrow T_{ijj}=-T_{ijj}=0$$ El uso de la simetría de este argumento podemos mostrar que el único distinto de cero componentes de $T$ son aquellos cuyos índices son una permutación de $(1,2,3)$. Supongamos $i\neq j$. Definir $$R_{lm}=\begin{cases} -\delta_{jm} & \text{if } l=i\\ \delta_{im} & \text{if } l=j\\ \delta_{lm} & \text{otherwise} \end{casos}\\ (R^TR)_{lm}=\sum_{n}R_{nl}R_{nm}=\sum_{n\neq i,j}R_{nl}R_{nm}+(-\delta_{jl})(-\delta_{jm})+\delta_{il}\delta_{im}\\ =\sum_{n\neq i,j}\delta_{nl}\delta_{nm}+\delta_{jl}\delta_{jm}+\delta_{il}\delta_{im}=\sum_{n}\delta_{nl}\delta_{nm}=\delta_{lm}\\$$ Por lo $R$ es ortogonal. Supongamos $k\neq i,j$. $$T_{ijk}=\sum_{p,q,r}R_{ip}R_{jq}R_{kr}T_{pqr}=\sum_{p,q,r}-\delta_{jp}\delta_{iq}\delta_{kr}T_{pqr}=-T_{jik}$$ So $T$ is skew-symmetric in its $1$st two indices. Symmetry of this argument shows that $T$ is fully skew-symmetric. Therefore $T$ es un múltiplo de la de Levi-Civita tensor.