$\lim\limits_{R\to0^+}\int\limits_{x^2+y^2\le R^2}e^{-x^2}\cos(y)dxdy=?$

Question

$$\lim\limits_{R\to0^+}\int\limits_{x^2+y^2\le R^2}e^{-x^2}\cos(y)dxdy=?$$

Primero quiero mostrar $f(x,y)=e^{-x^2}\cos(y)$ no se vuelve loco en $(0,0)$ si no, ya es claramente continua y acotada.

Así que $$|e^{-x^2}\cos(y)|\le e^{-x^2}\to 1$$ cuando $$x^2+y^2\to 0$$

Entonces Ahora la integral del integrando finito y acotado tiene que ir a 0 porque la región se desvanece, pero ¿cómo demostrarlo adecuadamente?

Answer 1

La función $|e^{-x^2}\cos(y)|$ está limitada por $1$ de arriba para cualquier $x$ y $y$ . Así que el valor absoluto de su integral es menor o igual que el área del círculo $x^2+y^2\leq R^2$ veces $1$ .