Cálculo de la homología simplicial de $S^1$

Question

He estado buscando una solución totalmente algebraico de calcular la homología simplicial del círculo, pero sólo he encontrado fuentes que simplemente triangulan $S^1$ y luego observar geométricamente los agujeros n-dimensionales. Por favor, facilítame un cálculo detallado de los "ciclos módulo de límites".

Answer 1

Consideremos $S^1$ como un triángulo, con vértices $u$ , $v$ y $w$ y aristas entre cada par de ellas que escribiremos como $uv$ , $vw$ y $uw$ . Utilizamos la ordenación $u<v<w$ en los vértices. Así que tenemos $3$ $1$ -simplemente, $3$ $0$ -símbolos, y no hay símbolos en ninguna otra dimensión. De ello se desprende que $H_n(S^1)=0$ para $n>1$ ya que no hay ningún $n$ -(por lo que los grupos de ciclo y de frontera son ambos triviales).

Para calcular $H_1(S^1)$ y $H_0(S^1)$ tendremos que calcular el mapa de límites $\partial_1:C_1\to C_0$ . El grupo de cadenas $C_1$ tiene base $\{uv,vw,uw\}$ y el grupo de cadenas $C_0$ tiene base $\{u,v,w\}$ . Tenemos $\partial_1(uv)=v-u$ , $\partial_1(vw)=w-v$ y $\partial_1(uw)=w-u$ . Así, podemos calcular el núcleo de $\partial_1$ : para $a,b,c\in\mathbb{Z}$ , $$\partial_1(auv+bvw+cuw)=a(v-u)+b(w-v)+c(w-u)=-(a+c)u+(a-b)v+(b+c)w.$$ Así, $auv+bvw+cuw \in\ker(\partial_1)$ si $a=b=-c$ . Es decir, $\ker(\partial_1)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ generado por $uv+vw-uw$ . Como no hay $2$ -simples, la imagen de $\partial_2$ es $0$ Así que $H_1(S^1)\cong \mathbb{Z}/0\cong\mathbb{Z}$ .

El último mapa de límites $\partial_0$ es $0$ Así que cada $0$ -la cadena es un ciclo y $H_0(S^1)=C_0/\operatorname{im}(\partial_1)$ . La imagen de $\partial_1$ es generado por $v-u$ , $w-v$ y $w-u$ . Así que $u$ , $v$ y $w$ son todos iguales, módulo de la imagen de $\partial_1$ por lo que el grupo cociente es cíclico, generado por el coset de $u$ . Por otro lado, ningún múltiplo no nulo de $u$ es a imagen y semejanza de $\partial_1$ ya que si $nu=\partial_1(auv+bvw+cuw)$ por el cálculo anterior tenemos $a+c=-n$ , $a-b=0$ y $b+c=0$ que es imposible (las dos últimas ecuaciones obligan a $a+c=0$ ). Por lo tanto, el coset de $u$ genera libremente el grupo cociente $C_0/\operatorname{im}(\partial_1)$ . Así, $H_0(S^1)\cong\mathbb{Z}$ .