Regresor generado y término de interacción

Question

Quiero estimar el siguiente modelo

$y_{it} = \gamma_{0} + \gamma_{1} x_{it} + \gamma_{2} \theta_{i} x_{it} + u_{it}$

donde el $\theta_i$ es desconocido pero puedo estimarlo en otra regresión. Introduciendo esa estimación y reescribiendo la ecuación, obtengo

$y_{it} = \gamma_{0} + \gamma_{1} x_{it} + \gamma_{2} \hat \theta_{i} x_{it} + u_{it} + \gamma_{2} x_{it} (\theta_i - \hat \theta_{i})$

Los dos últimos términos son obviamente inobservables, y el último está correlacionado con $x_{it}$ así que mis estimaciones son inconsistentes. Espero que este sea un problema común que tenga alguna solución establecida. ¿Alguien conoce literatura al respecto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que me apresuré a ver un problema aquí; si la primera etapa es consistente, también lo es la segunda, ya que $\hat \theta \to_p \theta$ aunque estará sesgada en muestras finitas. Así que supongo que este problema está resuelto.

Answer 2

La forma más fácil de corregir este problema es el bootstrap. Suponiendo que se utiliza el mismo conjunto de datos para estimar $\hat{\theta}$ en cuanto a la regresión de interés, se quiere estimar $\hat{\theta}$ con la muestra bootstrap, esto introduce una variación entre las muestras que converge a la variación verdadera cuando el número de réplicas se acerca al infinito.

Si bien es cierto que su estimación es consistente, su intuición es correcta de que los errores estándar no son correctos sin corrección y esto causará problemas con la asintótica de cualquier prueba de hipótesis.