Transitividad topológica+contracción

Question

Estoy buscando una pista:

Supongamos que $T:XX$ es un sistema dinámico. Supongamos que $T$ es a la vez topológicamente transitivo y una contracción, es decir $d(T(x),T(y))d(x,y)$ para todos $x,yX$ . Demuestra que T es mínimo.

Lo que hice: Supongamos que T no es mínimo. Entonces existe un conjunto cerrado e invariante de T F que no es igual a $X$ y por transitividad topológica para todos los pares de conjuntos abiertos $U,V$ existe $n\geq 0$ tal que $T^n(U)\cap V\neq\emptyset$ . Aquí, traté de establecer $U=V=X\setminus F$ pero no consiguen nada. ¿Cómo puedo utilizar la condición de contracción?

Cualquier ayuda es bienvenida. Gracias de antemano.

Answer 1

Si asume $X$ para ser un compacto espacio métrico, entonces la transitividad implica la existencia (de hecho, la densidad) de puntos transitivos . (Un punto transitivo para $T$ es un punto $x$ cuya órbita es densa en $X$ .) Si $T$ no fuera mínimo, entonces también tendría puntos no transitivos. Pero por la hipótesis de la contracción, las órbitas de los puntos cercanos permanecen cercanas para siempre, y esto llevaría a una contradicción.

Sin la suposición de compacidad, se puede proceder como sigue. Sea $x\in F$ y $y\in X\setminus F$ sea arbitraria. Sea $\varepsilon>0$ sea tal que $B_\varepsilon(y)$ (es decir, el $\varepsilon$ -bola alrededor $y$ ) está completamente en $X\setminus F$ . Por transitividad, existe un punto $z\in B_{\varepsilon/2}(x)$ y un tiempo $n\geq 0$ tal que $T^n(z)\in B_{\varepsilon/2}(y)$ . Por la propiedad de contracción de $T$ tenemos $d\big(T^n(z),T^n(x)\big)\leq d(z,x)<\varepsilon/2$ . Utilizando la desigualdad triangular, esto implica $T^n(x)\in B_\varepsilon(y)\subseteq X\setminus F$ contradiciendo la invariabilidad de $F$ .