Concurso de problemas de ecuaciones diferenciales matemáticas

Question

Tengo un problema matemático de un concurso antiguo (1991) en el que estoy atascado. El problema es:

Dejemos que $f(x)$ sea una función tal que $f(1)=1$ y, para $x\geq 1 $

$$ f'(x) = \frac{1}{x^2 + f^2(x)} $$

Demostrar que $\lim_{x\to\infty} f(x)$ existe, y es menor que $1 + \frac{\pi}{4}$ .

Intenté un enfoque de sustitución de la trigonometría (dejar $x=r\cos(\theta), y = r \sin(\theta)$ ), pero me quedé atascado cuando intenté hacer el cambio de variables. También pensé en calcular la forma general para $f^n(x)$ y calculando la serie de Taylor en torno a $x=1$ pero me quedé atascado en la tercera derivada y no pude ver la manera de llegar a una fórmula general.

Cualquier consejo para progresar será bienvenido. Gracias.

Answer 1

Sugerencia :

Desde $x^2+f^2(x) \ge 0$ sabemos que $f'(x)>0$ .

Así que, $f$ está aumentando $\Rightarrow$ $f(x)\ge f(1) = 1$ .

Aplicando esto de nuevo, obtenemos $$x^2+f^2(x)\ge x^2 + 1\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x^2+1}\ge\frac{1}{x^2+f^2(x)}=f'(x)$$

y utilizar la propiedad :

$$f(x)=f(1)+\int_1^xf'(t)dt\le f(1)+\int_1^x\frac{1}{t^2+1}dt$$