Acerca de la función digamma, hace $\psi(a) =-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1} {n+a} ?$

Question

Estoy tratando de aprender sobre la función digamma y sus usos. Para la serie de ejemplo, he encontrado en algún lugar esta solución: $$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(3n+2)\left ( 3n+3 \right )} &= \sum_{n=0}^{\infty} \left [ \frac{1}{3n+2} - \frac{1}{3n+3} \right ]\\ &=\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left [ \frac{1}{n+ \frac{2}{3}} - \frac{1}{n+1} \right ]\\ &=\frac{1}{3} \left [ -\psi^{(0)} \left ( \frac{2}{3} \right ) + \psi^{(0)}(1) \right ]\\ &= \frac{\log 3}{2}- \frac{\pi}{6 \sqrt{3}} \end{align*}$$ Puedo demostrar el mismo resultado usando un método diferente usando integrales, pero estoy interesado en la función digamma aquí, ¿se mantiene esta igualdad? $$-\psi(a) =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1} {n+a} ?$$ Ahora sé que la RHS diverge así que esto no puede ser cierto. Mi pensamiento es que esto se sostiene si la serie no está sola (debemos tener como en la solución de arriba dos partes o más dentro de la serie). ¿Puedes ayudarme con una prueba para esto?

También aquí: http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html Se muestra una forma general para esto, pero por supuesto esto no se mantiene para la función digamma ¿verdad?

Answer 1

Fórmula de Weierstrass: $$\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod_{n=1}^\infty \frac{e^{\frac{z}{n}}}{1+\frac{z}{n}}$$

$$\log\Gamma(z)=-\gamma z-z+\sum_{n=1}^\infty\frac{z}{n}-\log(1+\frac{z}{n})$$

Diferenciando:

$$\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\psi(z)=-\gamma-1+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}-\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{z}{n}}$$ $$\psi(z)=-\gamma-1+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}-\frac{1}{z+n}$$

Si $z\in\Bbb N^+$ se convierte en una simple suma telescópica y $\psi(z)=-\gamma-1+H_z$ où $H_z$ es el $z$ número armónico.

Además, $\psi(z)\neq\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n+z}$ debido a la divergencia para cualquier $z$ .

Sólo porque $$\psi(z)-\psi(s)=(-\gamma-1+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}-\frac{1}{z+n})-(-\gamma-1+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}-\frac{1}{s+n})=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{s+n}-\frac{1}{z+n}$$

no significa que $\psi(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{z+n}$ y $\psi(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{s+n}$ .

Answer 2

$$\sum_{n\geq 0}\frac{1}{n+a}$$ es descaradamente divergente, la identidad explotada fue $$ \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+a)(n+b)} = \frac{\psi(a)-\psi(b)}{a-b} $$ que proviene del producto de Weierstrass para el $\Gamma$ función.