Estoy calculando una integral
$$\int_0^{2\pi} \frac{\sin^2(\theta)}{5-3\cos(\theta)}$$
Introduje las substancias $z=e^{i \theta}$ lo que implica $\frac{dz}{zi}=d\theta$ . Utilizando el análisis complejo para $\sin$ y $\cos$ y con esta sustitución podemos escribirlos como
\begin{align} \sin(\theta)= \frac{z-z^{-1}}{2i} && \cos(\theta)= \frac{z+z^{-1}}{2} \end{align}
Así, podemos ver que $\sin^2(\theta)= \frac{z^2-z^{-2}-2}{-4}$ . de ahí tenemos que C es el círculo unitario.
$$\int _C \frac{\frac{z^2-z^{-2}-2}{-4}}{5-3/2(z+z^{-1})} \frac{dz}{iz}$$
Donde podemos simplificar multiplicando la parte superior e inferior por 4 y distribuyendo la z de la $dz$ therm
$$\frac{1}{i}\int_C \frac{z^2-z^{-2}-2}{20z-6z^2+6}dz$$
Entonces separamos esto en dos integrales
$$\int_C \frac{z^2-z^{-2}-2}{20z-6z^2+6}dz= \int_C \frac{z^2-2}{20z-6z^2+6}dz+ \int_C \frac{-z^{-2}}{20z-6z^2+6}dz$$
Ahora tenemos que evaluar las dos integrales pero como nuestro C es el círculo unitario y el polinomio en el denominador tiene sus raíces fuera del círculo unitario sabemos que la primera integral será una integral de una función analítica por lo tanto es cero. ¿Parece esto aceptable hasta ahora? Agradecería mucho los comentarios.
