Demostrando que existe un homomorfismo suryente de los enteros a un grupo cíclico

Question

¿Cómo puedo demostrar que si $G$ es un grupo cíclico, digamos $G=\langle g \rangle$ entonces existe un homomorfismo sobreyectivo desde el conjunto de los enteros a $G$ ?

¿Empiezo por enumerar los elementos de $G=\langle g \rangle$ como $\lbrace 1, g, g^2, ..., g^{n-1}\rbrace$ ?

Answer 1

Considere la función $f : \mathbb Z \to G$ definir por $f(j) = g^j$ . Desde $G$ es cíclico, $f$ es suryente. $f$ también es un homomorfismo ya que $g^{j+k} = g^j g^k$ .

Answer 2

Cualquier grupo cíclico finito es isomorfo a $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ , donde $N$ es el orden del grupo cíclico. Cualquier grupo cíclico infinito es isomorfo a $\mathbb{Z}$ . En el primer caso, el homomorfismo sobreyectivo es simplemente el mapa cociente $\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ . En el segundo caso, el homomorfismo sobreyectivo es sólo la identidad (isomorfismo).