Creo que has transmitido la idea general idea de la prueba bastante bien, aunque la entrega podría pulirse un poco y te faltan bastantes detalles. Aunque no te culpo, ya que una prueba por contradicción en este escenario es un poco antinatural.
Supongamos, en aras de la contradicción, que $f(A) \cup f(B) \neq f(A\cup B)$ . Entonces, o bien existe $x\in f(A) \cup f(B)$ tal que $x\notin f(A\cup B)$ o $x\in f(A\cup B)$ tal que $x\notin f(A) \cup f(B)$ . Los trataremos por separado.
Supongamos primero que $x\in f(A) \cup f(B)$ y $x\notin f(A\cup B)$ . Entonces $x\in f(A)$ o $x\in f(B)$ . Entonces debemos tener $x\in f(A) \subseteq f(A\cup B)$ o $x\in f(B) \subseteq f(A\cup B)$ . Una contradicción en cualquier caso.
Supongamos entonces que $x\in f(A\cup B)$ y $x\notin f(A) \cup f(B)$ . Entonces existe $y \in A\cup B$ tal que $f(y) = x$ . Tenemos $y\in A$ o $y\in B$ . En cualquier caso, $f(y) \in f(A)\cup f(B)$ y obtenemos una contradicción.
Si tienes alguna experiencia con las pruebas de inclusión de conjuntos mutuos, verás que lo anterior es esencialmente una forma enrevesada de escribir la inclusión de conjuntos mutuos. La parte de la contradicción es completamente innecesaria y no añade nada a la prueba.
Una pequeña observación sobre su última pregunta. Ciertamente la afirmación tiene que ser cierta para que probar de la misma. A prueba es un certificado de corrección. Pero a menudo no se sabe si una determinada afirmación es verdadera o falsa.
En los escenarios de los libros de texto, generalmente se te da un problema -que se garantiza que es verdadero- para que lo demuestres. La mayoría de las veces, el enunciado no sólo es cierto, sino que tiene una solución elemental y elegante (es decir, las olimpiadas). Esto contrasta directamente con, por ejemplo, la investigación matemática, en la que no sólo no se garantiza que el enunciado sea cierto, sino que a menudo se lucha por encontrar incluso un marco subyacente para presentar el problema. La investigación se realiza a menudo con enfoques simultáneos en la demostración y la búsqueda de contraejemplos para cualquier problema dado.
La tarea de decidir la validez de una afirmación recae en última instancia en su intuición, y la intuición humana está desarrollada más para cazar búfalos que para juzgar la validez matemática. Así que, como regla general, nunca suponga que nada sea cierto a menos que tengas una prueba válida de la afirmación, ha habido casos en la historia en los que nos hemos quemado bastante por nuestra intuición.
