Estoy confundido por la noción de una función de espacio. Por ejemplo, considere la base $\{1, x, x^2\}$ que es la base para el espacio vectorial de todos los polinomios de grado en la mayoría de las $2$. ¿Cuál es la noción de la "vector" aquí? Leí en algún sitio (no recuerdo la fuente), que los coeficientes de los polinomios esencialmente formulario de vectores en este caso, pero la noción de los vectores de la base no es Euclidiana en el sentido de que cada base de vectores sería de la forma $(a_1, a_2, ..., a_n)$ pero funciona! No puedo envolver mi cabeza alrededor de esto, alguna idea?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Un espacio vectorial es un conjunto en el que usted puede agregar y multiplicar por elementos de la base de campo. Usted puede agregar polinomios juntos y multiplicar por números reales (en una manera de satisfacer los axiomas), así polinomios forman un espacio vectorial. Un vector es nada más y nada menos que un elemento de un espacio vectorial, por lo que los polinomios puede ser visto como vectores.
fgp
Puntos
15322
La definición formal de "espacio vectorial" sigue un patrón que se ve muy a menudo en las matemáticas modernas. Empezar con algún objeto en particular(s) - en el caso de espacios vectoriales estas son las $n$-dimensional euclideano espacios - y averiguar las leyes esenciales que rigen estos objeto(s). Usted, a continuación, hacer que estas leyes los axiomas de algunos recién definido una clase de objetos (espacios vectoriales en este caso), y ver si se puede encontrar otro objeto(s) además de la que ya sabía que siga estas leyes.
En el caso de espacios vectoriales, estas leyes (o axiomas) son esencialmente
- Que cualquiera de los dos elementos puede ser añadido, y que la suma es conmutativa y asociativa (es decir, que $a + b = b + a$$a + (b + c) = (a + b) + c$).
- Que hay un elemento neutro $\mathbf{0}$ que $a + \mathbf{0}$ por cada $a$.
- Que elementos se pueden multiplicar con los elementos de algunas de campo. Los campos son la clase de objetos que seguir las mismas leyes básicas de la aritmética que se mantenga para los números reales. Los elementos del campo son generalmente llamados escalares.
- De que esta operación de multiplicación es compatible con la suma y la multiplicación de las operaciones de campo. En otras palabras, si $x,y$ son elementos del campo y $a,b$ son vectores, se requiere que $(x+y)\cdot a = x\cdot a + y\cdot a$,$1\cdot a = a$,$0\cdot a = \mathbf{0}$.
Cualquier conjunto de $X$ que (junto con un campo de escalares $F$) obedece a estos axiomas se llama un espacio vectorial.
Matthew Levy
Puntos
740
Creo que se confunden entre la idea de un vector (es decir. elemento de un conjunto que forma un espacio vectorial) y las coordenadas de los vectores de números reales generalmente se utiliza para realizar un seguimiento de estos vectores. De manera más abstracta, espacios vectoriales pueden ser sobre cualquier campo.
En el caso de los polinomios, después de la elección de una base (esto es siempre posible con dimensión finita), podemos escribir las coordenadas de los vectores en $R$, si nuestro polinomio tiene coeficientes reales.
Por ejemplo, podemos asociar el polinomio $f=\sqrt 2x^2 +2x +\pi$ $(\sqrt 2,2,\pi)\in \mathbb R^3$ después de decidir sobre el pedido de base $\{x^2,x,1\}\subset \{\text {polynomials of degree at most 2}\}$.
Para resumir muy bien, nos dicen que para el espacio vectorial finito dimensionales $V$, $V\cong R^n$ donde $n$ es la dimensión del espacio vectorial sobre algún campo, $R$. Esto es debido a la necesaria "libre" como módulos en la categoría teórica sentido.
Neal
Puntos
16536
Pero ellos son los vectores!
Generalmente hablando, un espacio de funciones de la asignación de un espacio topológico en un espacio vectorial satisface los axiomas de un espacio vectorial bajo las operaciones habituales de suma y la multiplicación escalar. Usted no necesita tener una base para tener un espacio vectorial, y de hecho, es a menudo provechoso para encontrar o construir una base que se adapte el problema que usted está interesado en.
