Determinar si un vector es o no una combinación lineal de una matriz dada

Question

$$ A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5\\ -2 & 1 & -6\\ 0 & 2 & 8 \end{bmatrix} ,b= \begin{bmatrix} 2\\ -1\\ 6 \end{bmatrix} $$

El problema consiste en determinar si el vector $b$ es una combinación lineal de los vectores formados por la matriz $A$ . He utilizado las operaciones elementales de fila para reducir la matriz aumentada y he obtenido

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 & 2\\ 0 & 1 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

No sé qué hacer después de esto. Según la matriz en forma escalonada reducida, el sistema lineal es consistente, por lo que hay soluciones. La respuesta en la parte posterior del libro dice que $b$ no es una combinación lineal de la matriz $A$ . Pensaba que si una matriz en forma escalonada reducida era consistente, entonces existía una combinación lineal.

¿Por qué no $1a_1+1a_2+0a_3=b$ ¿trabajo?

Answer 1

Hay tres espacios comúnmente asociados a una matriz: espacio de la columna , espacio de la fila y espacio nulo .

Una solución del sistema de ecuaciones lineales $Ax=b$ es $x=\begin{bmatrix}\color{blue}{2} \\ \color{red}{3} \\ \color{green}{0} \end{bmatrix}$ como se puede ver en la forma escalonada de la fila dada. Esto implica la solución $$\require{cancel}\underbrace{\begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 6\end{bmatrix}}_b=\color{blue}{2}\begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 0\end{bmatrix}+\color{red}{3}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}+\cancel{\color{green}{0}\begin{bmatrix} 5 \\ -6 \\ 8 \end{bmatrix}}$$ que, alternativamente, podría encontrarse por medio de la inspección. Esto implica $b$ está en el espacio de columnas de $A$ .

También podemos ver que $(2,-1,6)$ es el negativo de la segunda fila de $A$ . Esto implica $b$ está en el espacio de filas de $A$ (o, quizás más formalmente, $b^T$ no está en el espacio de filas de $A$ ).

Convirtiendo $A$ a la forma del escalón de la fila $R$ da $$ R=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $$ y $Rx=\mathbf{0}$ tiene el espacio de solución $\{(-5t,-4t,t):t \in \mathbb{R}\}$ -- este es el espacio nulo de $A$ . Desde $b$ no es de la forma $(-5t,-4t,t)$ vemos que $b$ no está en el espacio nulo de $A$ .