$a_n=\frac{1}{2^n}\sum_{k=1}^{2^n}f\biggl(\frac{k}{2^n}\biggl)$ está disminuyendo

Question

Tenemos una función continua y creciente $f:[0,1]\to \mathbb R$ y la secuencia $(a_n)_{n\ge1}$ , $$a_n=\frac{1}{2^n}\sum_{k=1}^{2^n}f\biggl(\frac{k}{2^n}\biggl)$$ . Demostrar que $(a_n)_{n\ge1}$ está disminuyendo.

Tengo $$a_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}\biggr( \sum_{k=1}^{2^n}f\biggl(\frac{k}{2^{n+1}}\biggl) +\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}}f\biggl(\frac{k}{2^{n+1}}\biggl) \biggr)$$ . En la solución tienen $$a_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}\biggr( \sum_{k=1}^{2^n}f\biggl(\frac{k}{2^n}\biggl) +\sum_{k=1}^{2^n}f\biggl(\frac{2k-1}{2^{n+1}}\biggl) \biggr)$$

y luego usaron $f(\frac{2k-1}{2^{n+1}})\le f(\frac{k}{2^n})$ , que no entiendo a los dos. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Desde $2^n$ es par y $2^{n+1}/2=2^n$ podemos escribir para cualquier secuencia $b_k$

$$\sum_{k=1}^{2^{n+1}}b_k=\sum_{k=1}^{2^{n}}(\underbrace{b_{2k}}_{\text{even indexed terms}}+\underbrace{b_{2k-1}}_{\text{odd indexed terms}})$$

Con $b_{k}=f\left(\frac{k}{2^{n+1}}\right)$ podemos escribir

$$\sum_{k=1}^{2^{n+1}}f\left(\frac{k}{2^{n+1}}\right)=\sum_{k=1}^{2^{n}}\left(f\left(\frac{k}{2^n}\right)+f\left(\frac{2k-1}{2^{n+1}}\right)\right)$$

¿Puedes terminar ahora?

Answer 2

$f$ está aumentando por lo que

$f(\frac{2k-1}{2^{n+1}})\le f(\frac{k}{2^n})$

Porque $\frac{2k-1}{2^{n+1}}=\frac{k}{2^n}-\frac{1}{2^{n+1}}\leq\frac{k}{2^n}$